TOUGH
최다빈출 왕중요
직선의 대칭이동
직선의 평행이동
원의 넓이 이등분
이동의 합성
출제의도
직선 y=mx+m+2를 y=x에 대하여 대칭이동한 뒤 다시 평행이동하고, 그 결과가 두 원의 넓이를 동시에 이등분하도록 하는 a, m을 찾는 문항입니다. 이동을 두 번 연달아 적용하는 합성과, “넓이를 이등분한다”는 조건을 식으로 옮기는 번역이 한 문제 안에 겹쳐 있습니다.
최다빈출로 표시된 이유는 두 요구가 모두 정형화되어 있기 때문입니다. 이동은 대입 규칙만 정확히 지키면 되고, 넓이 이등분은 중심을 지난다 한 줄로 끝납니다. 어려운 것은 발상이 아니라, 문자 m이 섞인 채로 두 번의 대입을 흘리지 않고 처리하는 정확성입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
“원의 넓이를 이등분하는 직선”이라는 말을 그림으로 떠올려 보세요. 원을 넓이가 같은 두 조각으로 자르는 직선은 반드시 원의 중심을 지납니다. 두 원을 동시에 이등분한다면, 그 직선은 두 원의 중심을 모두 지나야 합니다. 문제가 준 조건은 결국 “이동이 끝난 직선이 점 (1, 0)과 점 (0, a)를 지난다”는 두 줄짜리 대입 조건입니다.
남은 일은 이동이 끝난 직선의 방정식을 m으로 정확히 써 두는 것입니다. y=x 대칭은 x와 y를 통째로 맞바꾸는 것이고, 평행이동은 이동한 방향과 반대 부호를 대입한다는 점만 기억하면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 y=mx+m+2에서 x 대신 y, y 대신 x를 넣어 x=my+m+2를 얻고, 좌변으로 모두 옮겨 x−my−m−2=0 꼴로 정리하세요. 일반형으로 옮겨 두어야 다음 단계의 대입이 깔끔해집니다.
이어서 x축으로 2만큼, y축으로 −1만큼 평행이동합니다. x 대신 x−2, y 대신 y+1을 대입하면 상수항이 한 번 더 정리되면서 m이 붙은 항이 하나로 모입니다. 이 직선에 (1, 0)을 대입해 m을 먼저 구하고, 구한 m을 넣은 상태에서 (0, a)를 대입해 a를 구하세요. 순서를 반대로 하면 미지수가 두 개인 식이 남습니다.
정답 확인
정답 3a−2m = 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ay=x에 대하여 대칭이동하기
직선 y=mx+m+2에서 x 대신 y를, y 대신 x를 대입하면 x=my+m+2입니다. 좌변으로 모두 모으면
x−my−m−2=0
이 됩니다. 여기서 바로 y에 대해 풀어 y=(x−m−2)/m 꼴로 두어도 되지만, 다음 단계에서 다시 대입해야 하므로 분모가 없는 일반형으로 두는 편이 안전합니다.
STEP Bx축으로 2, y축으로 −1만큼 평행이동하기
x 대신 x−2, y 대신 y+1을 대입하면 (x−2)−m(y+1)−m−2=0이고, 전개하여 정리하면
x−my−2m−4=0
입니다. m이 붙은 항이 −my와 −2m 둘로 정리되었는지 확인하세요. 여기서 −m−m=−2m을 놓치는 실수가 가장 흔합니다.
STEP C두 원의 중심을 대입하여 m, a 구하기
원 (x−1)²+y²=4의 중심은 (1, 0), 원 x²+(y−a)²=8의 중심은 (0, a)입니다. 이동이 끝난 직선이 두 원의 넓이를 이등분하므로 두 중심을 모두 지나야 합니다.
중심 (1, 0) 대입 — 1−0−2m−4=0에서 2m=−3이므로 m=−3/2입니다. y좌표가 0이라 my 항이 사라지므로 미지수가 m 하나만 남습니다.
중심 (0, a) 대입 — m=−3/2를 넣은 직선은 x+32y−1=0이고, 여기에 (0, a)를 대입하면 32a−1=0이므로 a=2/3입니다.
STEP D3a−2m의 값 계산
a=2/3, m=−3/2이므로 3a−2m = 3×23 − 2×(−32) = 2+3 = 5입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선이 지나는 ‘고정점’을 이동시키기
y=mx+m+2를 m에 대하여 묶으면 y=m(x+1)+2입니다. m의 값에 관계없이 x=−1일 때 y=2이므로, 이 직선은 항상 점 (−1, 2)를 지납니다. 이동은 직선 위의 모든 점을 같은 규칙으로 옮기므로, 이동이 끝난 직선도 (−1, 2)가 옮겨간 자리를 반드시 지납니다.
점 (−1, 2)를 y=x에 대하여 대칭이동하면 (2, −1)이고, 이를 x축으로 2, y축으로 −1만큼 평행이동하면 (4, −2)입니다. 즉 이동이 끝난 직선은 m이 무엇이든 점 (4, −2)를 지납니다. 여기에 “중심 (1, 0)을 지난다”를 더하면 직선이 두 점으로 완전히 결정되고, 기울기는 (0−(−2))/(1−4) = −2/3입니다.
한편 y=x 대칭은 기울기를 역수로 바꾸고 평행이동은 기울기를 바꾸지 않으므로, 이동 후 기울기는 1/m입니다. 1/m=−2/3에서 m=−3/2가 즉시 나옵니다. 또 두 점 (4, −2), (1, 0)을 지나는 직선 y=−23(x−1)에 x=0을 넣으면 y=2/3이므로 a=2/3입니다. 대입 계산 없이 점 두 개로 끝나는 풀이입니다.
실수를 줄이는 전략
- y=x 대칭은 x와 y를 통째로 맞바꾸는 것입니다. 기울기만 역수로 바꾸고 상수항을 그대로 두면 직선이 엉뚱한 자리로 갑니다. y=mx+m+2의 대칭이동은 y=(1/m)x+… 로 시작하는 게 아니라 x=my+m+2에서 출발합니다.
- 평행이동은 이동 방향과 반대 부호를 대입합니다. x축으로 +2면 x 대신 x−2, y축으로 −1이면 y 대신 y+1입니다. 여기서 부호를 맞바꾸면 m과 a가 동시에 틀립니다.
- 이동의 순서를 지키세요. 이 문제는 대칭이동을 먼저 하고 평행이동을 나중에 합니다. 순서를 바꾸면 전혀 다른 직선이 나옵니다.
- “넓이를 이등분한다”는 중심을 지난다로 곧바로 번역하세요. 접한다, 만난다 같은 조건과 헷갈려 점과 직선 사이의 거리 공식을 꺼내는 순간 문제가 몇 배로 어려워집니다.
- 대입 순서는 미지수가 하나만 남는 쪽부터입니다. (1, 0)은 y좌표가 0이라 m만 남지만, (0, a)를 먼저 대입하면 m과 a가 곱해진 항이 생겨 정리가 번거로워집니다.
- 마지막 3a−2m에서 −2×(−3/2)=+3입니다. 음수끼리의 곱을 흘리면 5 대신 −1이 나옵니다.
엄선된 풀이 영상
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