TOUGH
최다빈출 · 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식
원의 접선
극선의 방정식
현의 길이
출제의도
원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점 A, B를 잇는 선분의 길이를 묻는 문항입니다. 겉보기에는 “접점을 구해서 두 점 사이의 거리를 계산하라”는 문제로 보이지만, 접점을 실제로 구하려고 연립하면 이차방정식 계산이 길어집니다.
이 문항의 진짜 요구는 접점을 구하지 않고 직선 AB의 방정식만 뽑아내는 것입니다. 접점을 (x₁, y₁), (x₂, y₂)로 두고 P를 대입해 얻은 두 식이 사실 하나의 직선에 두 점을 대입한 형태라는 것을 알아채면, 그 다음은 중심에서 현까지의 거리와 반지름을 쓰는 익숙한 계산으로 끝납니다. 대입식의 의미를 읽어내는 눈을 묻는 문제입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 접점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)로 두세요. 접점은 원 x²+y²=25 위의 점이므로 접선의 방정식은 x₁x+y₁y=25, x₂x+y₂y=25로 쓸 수 있습니다.
이제 두 접선이 모두 점 P(6, 8)을 지난다는 조건을 그대로 대입하면 6x₁+8y₁=25, 6x₂+8y₂=25라는 두 식이 나옵니다. 이 두 식을 나란히 놓고 “무엇에 무엇을 대입한 모양인가”를 다시 읽어보세요. 여기서 한 걸음이 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
6x₁+8y₁=25와 6x₂+8y₂=25는 직선 6x+8y=25에 점 A와 점 B를 각각 대입한 식입니다. 두 점을 지나는 직선은 유일하므로 직선 AB의 방정식이 곧 6x+8y=25입니다. 접점 좌표는 끝까지 구할 필요가 없습니다.
남은 것은 현의 길이 계산입니다. 중심 O(0, 0)에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 H라 하고 점과 직선 사이의 거리로 OH를 구하세요. OA는 반지름 5이므로 직각삼각형 AOH에서 AH²=OA²−OH²를 쓰면 되고, 마지막에 AB=2AH라는 점만 놓치지 않으면 됩니다.
정답 확인
정답 ④ AB = 5√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접점을 미지수로 두고 접선의 방정식 세우기
원 x²+y²=25에서 두 접점의 좌표를 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)라 하면 점 A에서의 접선은 x₁x+y₁y=25, 점 B에서의 접선은 x₂x+y₂y=25입니다.
STEP B점 P를 대입해 직선 AB의 방정식 얻기
두 접선이 모두 P(6, 8)을 지나므로 6x₁+8y₁=25, 6x₂+8y₂=25입니다. 이 두 식은 직선 6x+8y=25에 두 점 A, B를 대입한 것과 같고, 두 점을 지나는 직선은 유일하므로 직선 AB의 방정식은 6x+8y=25입니다.
STEP C중심에서의 거리와 피타고라스로 AB 구하기
원의 중심 O(0, 0)에서 직선 6x+8y−25=0에 내린 수선의 발을 H라 하면
OH = |−25|√(6²+8²) = 2510 = 52
OA는 반지름이므로 OA=5이고, 직각삼각형 AOH에서 AH² = OA²−OH² = 25 − 254 = 754, 즉 AH = 5√32입니다. 따라서 AB = 2AH = 5√3입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선의 길이와 넓이로 한 번에
직각삼각형 OAP를 그대로 활용하면 직선 AB의 방정식을 구하지 않고도 답이 나옵니다.
OP = √(6²+8²) = 10이고 OA=5, ∠OAP=90°이므로 접선의 길이는 PA = √(OP²−OA²) = √(100−25) = 5√3입니다. 그런데 AH는 직각삼각형 OAP에서 빗변 OP에 내린 수선의 발까지의 거리이므로, 넓이를 두 가지로 계산하면 OA·PA = OP·AH, 즉 5·5√3 = 10·AH에서 AH = 5√32입니다. 따라서 AB = 2AH = 5√3.
이 흐름을 공식으로 정리해 두면 더 빠릅니다. 중심에서 점 P까지의 거리를 d, 반지름을 r라 할 때 두 접점을 잇는 현의 길이는 AB = 2r√(d²−r²)d입니다. 이 문항에서는 2·5·√7510 = 5√3로 한 줄에 끝납니다.
내신연계 출제문항 240
같은 구조를 숫자만 바꿔 묻는 연계 문항입니다. 점 (3, 4)에서 원 x²+y²=5에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 할 때, 점 (3, 4)에서 직선 AB에 이르는 거리를 구하는 문제입니다.
( i ) 직선 AB 구하기 — 접점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)라 하면 접선은 x₁x+y₁y=5, x₂x+y₂y=5이고, 두 접선이 (3, 4)를 지나므로 3x₁+4y₁=5, 3x₂+4y₂=5입니다. 따라서 직선 AB는 3x+4y=5입니다.
( ii ) 점과 직선 사이의 거리 — 3x+4y−5=0에 (3, 4)를 대입하면 |9+16−5|√(3²+4²) = 205 = 4이므로 정답 ②입니다.
실수를 줄이는 전략
- 접점의 좌표를 끝까지 구하려 하지 마세요. 접선과 원을 연립하는 순간 계산량이 몇 배로 늘어납니다. 이 유형은 “접점을 미지수로 두고 P를 대입한다”가 정해진 첫 수입니다.
- x₁x+y₁y=r²은 접점이 원 위에 있을 때만 쓰는 식입니다. 원 밖의 점 P의 좌표를 이 자리에 곧바로 넣는 것이 아니라, 접점을 넣어 세운 뒤 P를 대입하는 순서를 지켜야 합니다.
- 점과 직선 사이의 거리는 반드시 = 0 꼴로 정리한 뒤 대입하세요. 6x+8y=25 상태로 상수항 부호를 착각하면 OH부터 틀어집니다.
- 마지막에 구한 것이 AH인지 AB인지 확인하세요. AB=2AH를 잊고 5√32를 답으로 고르면 ①과 혼동하기 쉽습니다.
- 이 유형은 극선(접점을 잇는 직선)의 방정식으로 일반화됩니다. 원 x²+y²=r² 밖의 점 P(x₀, y₀)에서 그은 두 접선의 접점을 잇는 직선은 x₀x+y₀y=r²입니다. 결론만 외우지 말고 위 대입 논리를 함께 기억해 두세요.
엄선된 풀이 영상
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