TOUGH
Ⅰ-03 원의 방정식
원의 접선
극선의 방정식
이등변삼각형의 넓이
출제의도
앞 문항(0460)과 짝을 이루는 문제입니다. 원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점 A, B가 주어졌을 때, 이번에는 삼각형 PAB의 넓이를 묻습니다.
핵심은 접점을 구할 것인가, 구하지 않을 것인가의 선택입니다. 원 x²+y²=5는 숫자가 작아 접점을 직접 연립해도 y₁²−3y₁+2=0이라는 깔끔한 이차방정식으로 떨어지므로 정공법이 통합니다. 하지만 반지름이 커지면 이 길은 곧바로 막히므로, 접점을 구하지 않고 직선 AB부터 뽑아내는 두 번째 길을 함께 익혀 두어야 하는 자리입니다. 넓이를 구하는 마지막 단계에서 어느 변을 밑변으로 잡을지에 따라 계산 길이가 확 달라진다는 점도 함께 묻고 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
접점 하나를 (x₁, y₁)로 두면 접선의 방정식은 x₁x+y₁y=5입니다. 이 접선이 P(1, 3)을 지난다는 조건에서 x₁+3y₁=5라는 일차식이 하나 나옵니다.
미지수가 둘인데 식은 하나뿐입니다. 아직 쓰지 않은 조건이 하나 남아 있습니다. 접점은 원 위의 점이라는 사실, 즉 x₁²+y₁²=5입니다. 일차식과 이차식을 연립하면 두 접점이 한꺼번에 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
x₁=−3y₁+5를 x₁²+y₁²=5에 대입하면 10y₁²−30y₁+20=0, 즉 y₁²−3y₁+2=0으로 정리됩니다. 두 근이 곧 두 접점의 y좌표이므로 A와 B가 동시에 확정됩니다.
두 점을 얻은 뒤에는 넓이 계산입니다. PA와 PB는 같은 점에서 그은 접선의 길이이므로 반드시 같습니다. 즉 삼각형 PAB는 AB를 밑변으로 하는 이등변삼각형이고, 높이는 P에서 AB의 중점으로 내린 선분입니다. 밑변을 AB로 잡아야 피타고라스 한 번으로 높이가 나온다는 점에 주의하세요.
정답 확인
정답 ③ 삼각형 PAB의 넓이 = 52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접선의 방정식에 P를 대입하기
원 x²+y²=5 위의 접점을 (x₁, y₁)이라 하면 접선의 방정식은 x₁x+y₁y=5입니다. 이 접선이 P(1, 3)을 지나므로 x₁+3y₁=5, 즉 x₁=−3y₁+5입니다.
STEP B원 위의 점 조건과 연립해 두 접점 구하기
접점은 원 위에 있으므로 x₁²+y₁²=5입니다. 여기에 x₁=−3y₁+5를 대입하면
(−3y₁+5)²+y₁²=5 → 10y₁²−30y₁+20=0 → y₁²−3y₁+2=0 → (y₁−1)(y₁−2)=0
따라서 y₁=1 또는 y₁=2이고, 각각을 x₁=−3y₁+5에 대입하면 두 접점은 (2, 1)과 (−1, 2)입니다. 이를 A(−1, 2), B(2, 1)로 둡니다.
STEP C이등변삼각형임을 이용해 넓이 구하기
AB = √((2+1)²+(1−2)²) = √10이고, AP = √((1+1)²+(3−2)²) = √5, BP = √((2−1)²+(1−3)²) = √5입니다.
삼각형 PAB는 AP=BP인 이등변삼각형이므로 AB를 밑변이라 할 때 높이 h는
h = √((√5)² − (√102)²) = √102
따라서 넓이는 12 × √10 × √102 = 52입니다.
1등급 다른 풀이 · 극선의 방정식으로 접점을 건너뛰기
접점을 구하지 않고도 직선 AB의 방정식을 먼저 얻을 수 있습니다.
두 접점을 (x₁, y₁), (x₂, y₂)라 하면 접선은 각각 x₁x+y₁y=5, x₂x+y₂y=5이고, 둘 다 P(1, 3)을 지나므로 x₁+3y₁=5, x₂+3y₂=5입니다. 이는 직선 x+3y=5에 두 점을 대입한 식이므로 직선 AB는 x+3y=5입니다.
이제 원의 중심 O(0, 0)에서 이 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 OH = |−5|√(1²+3²) = √102이고, OA=√5이므로 AH = √(5 − 52) = √102, 즉 AB = 2AH = √10입니다. 또 P(1, 3)에서 직선 AB까지의 거리는 PH = |1+9−5|√10 = 5√10이므로 넓이는 12 × √10 × 5√10 = 52입니다.
한 걸음 더 줄일 수도 있습니다. 접선의 길이는 PA = PB = √(OP²−r²) = √(10−5) = √5이고 ∠OAP=∠OBP=90°이므로, 사각형 OAPB의 넓이는 직각삼각형 두 개로 2 × 12 × √5 × √5 = 5입니다. 여기서 삼각형 OAB의 넓이 12 × √10 × √102 = 52를 빼면 곧바로 52가 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 접점을 연립으로 구할 때는 일차식을 이차식에 대입하는 방향이 정석입니다. 반대로 하면 미지수가 남아 정리가 되지 않습니다.
- y₁의 두 값을 구한 뒤 x₁을 짝지어 옮기는 과정에서 실수가 가장 많이 납니다. (2, 1)과 (−1, 2)를 (2, 2)나 (−1, 1)처럼 섞어 적지 않도록 한 쌍씩 확인하세요.
- 삼각형 PAB의 밑변은 반드시 AB로 잡으세요. PA=PB인 이등변삼각형이므로 밑변을 AB로 두어야 높이가 수직이등분선이 되어 피타고라스 한 번으로 끝납니다.
- 극선으로 푸는 경우 OH와 PH를 혼동하지 마세요. AB의 길이를 구할 때는 중심에서의 거리 OH, 넓이의 높이로 쓸 때는 점 P에서의 거리 PH입니다.
- PA=PB(접선의 길이가 같다)는 이 단원에서 반복해서 쓰이는 성질입니다. 문제에 명시되어 있지 않아도 그림을 보자마자 표시해 두는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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