TOUGH
원 밖의 점에서 그은 접선
각의 이등분선
대칭성
출제의도
이 문항의 핵심은 계산이 아니라 구조 파악입니다. 접선을 실제로 구하려고 기울기 m을 놓고 거리 공식을 세우면 m²−8m+1=0이라는 무리수 근이 나와 손이 멈춥니다. 그러나 각의 이등분선만 묻고 있으므로 접선 자체는 끝까지 구할 필요가 없습니다.
또 하나 걸러내는 지점은 이등분선이 두 개라는 사실입니다. 두 직선이 만나면 각은 하나가 아니라 서로 이웃한 두 종류가 생기고, 그 이등분선 둘은 언제나 수직입니다. 문제가 y=ax+b와 y=cx+d 두 개를 제시하고 abcd를 물은 것 자체가 ‘두 개를 모두 찾아라’는 신호입니다. 하나만 구하고 나머지를 놓치면 답을 만들 수 없습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
원 밖의 점 P(3, 0)에서 그은 두 접선의 접점을 T₁, T₂라 해보세요. 접선의 길이가 같으므로 PT₁=PT₂이고, 반지름도 같으므로 두 직각삼각형은 합동입니다. 즉 이 그림 전체가 점 P와 원의 중심을 잇는 직선에 대해 좌우 대칭입니다.
대칭축은 곧 각의 이등분선입니다. 그러므로 이등분선 하나는 접선을 구하지 않고도 점 (3, 0)과 중심 (1, −2)를 지나는 직선으로 즉시 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이제 두 번째 이등분선을 찾을 차례입니다. 두 직선이 교차하면 각은 두 종류(맞꼭지각 쌍과 그 이웃각)가 만들어지고, 각각의 이등분선은 서로 수직입니다. 따라서 두 번째 직선은 점 (3, 0)을 지나면서 첫 번째 이등분선에 수직인 직선입니다.
두 점 (1, −2), (3, 0)의 기울기를 먼저 구하고, 수직 조건 mm′=−1로 나머지 기울기를 얻으세요. 두 직선을 y=ax+b, y=cx+d 꼴로 정리한 뒤 네 상수를 모두 곱하면 됩니다. 어느 직선을 (a, b)로 잡든 곱은 같으므로 배정 순서는 신경 쓰지 않아도 됩니다.
정답 확인
정답 abcd = 9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A이등분선이 두 개임을 파악
점 (3, 0)에서 원 (x−1)²+(y+2)²=3에 그은 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 직선은 두 개입니다. 하나는 점 (3, 0)과 원의 중심 (1, −2)를 지나는 직선 l이고, 다른 하나는 점 (3, 0)을 지나면서 l에 수직인 직선 m입니다.
참고로 중심 (1, −2)에서 점 (3, 0)까지의 거리는 √(2²+2²)=2√2이고 반지름은 √3이므로, 2√2>√3에서 점 (3, 0)은 원의 외부에 있습니다. 접선이 실제로 두 개 그어진다는 확인입니다.
STEP B중심과 외부점을 지나는 직선 l
두 점 (1, −2)와 (3, 0)을 지나므로 기울기는 (−2−0)/(1−3)=1입니다. 점 (3, 0)을 지나는 기울기 1인 직선은 y=x−3입니다.
STEP C수직인 직선 m과 abcd 계산
l에 수직이므로 기울기는 −1이고, 점 (3, 0)을 지나므로 m: y=−(x−3), 즉 y=−x+3입니다. 두 직선을 y=ax+b, y=cx+d에 대응시키면 a, b, c, d의 값은 1, −3, −1, 3이므로
abcd = 1×(−3)×(−1)×3 = 9
1등급 다른 풀이 · 접선을 실제로 구해 확인하기
구조를 믿기 어렵다면 접선을 직접 구해 검증할 수 있습니다. 점 (3, 0)을 지나는 직선을 y=k(x−3), 즉 kx−y−3k=0으로 두고 중심 (1, −2)에서의 거리가 반지름 √3이라 놓으면 |−2k+2|/√(k²+1)=√3이고, 양변을 제곱해 정리하면 4(k−1)²=3(k²+1), 즉 k²−8k+1=0이 나옵니다. 두 접선의 기울기는 k=4±√15입니다.
여기서 눈여겨볼 것은 두 근의 곱입니다. (4+√15)(4−√15)=16−15=1이므로 두 접선의 기울기는 서로 역수 관계입니다. 기울기가 m과 1/m인 두 직선은 언제나 기울기 1인 방향(및 그에 수직인 −1 방향)에 대해 대칭이므로, 이등분선의 기울기가 1과 −1이라는 앞의 결론이 그대로 확인됩니다. 무리수 기울기를 끝까지 계산하지 않고도 답의 구조가 맞는지 점검할 수 있는 방법입니다.
실수를 줄이는 전략
- 각의 이등분선은 항상 두 개이고 서로 수직입니다. ‘두 접선이 이루는 각’이라는 표현에는 예각과 그 보각이 함께 들어 있다고 생각하세요. 하나만 구하면 문제에서 요구한 네 상수를 채울 수 없습니다.
- 접선을 먼저 구하려는 충동을 참으세요. 이 문제에서 접선의 기울기는 4±√15로 무리수라 그대로 끌고 가면 계산이 폭발합니다. 대칭축부터 잡는 것이 정석입니다.
- 외부점과 중심을 잇는 직선이 대칭축인 근거는 접선의 길이가 같다는 성질입니다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 언제나 같다는 사실은 이 단원 전체에서 반복해서 쓰입니다.
- y=ax+b 형태로 답해야 하므로, 만약 외부점과 중심의 x좌표가 같았다면 이등분선 하나가 x=상수인 수직선이 되어 이 형식으로 표현할 수 없습니다. 이 문항은 기울기가 1로 떨어지도록 배치된 경우입니다.
- 어느 직선을 (a, b)로 두든 abcd의 값은 같습니다. 배정 순서를 고민하며 시간을 쓰지 말고, 대신 부호 −3과 −1을 빠뜨리지 않았는지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.