TOUGH
최다빈출 · 왕중요
내분점
수직 조건
원의 방정식 결정
출제의도
이 문항은 원을 결정하는 조건이 세 문장에 나누어 숨어 있는 유형입니다. 원 하나를 확정하려면 미지수 세 개(중심의 x, y와 반지름)를 잡아야 하는데, 이 문제는 “중심이 어떤 직선 위에 있다”는 조건 하나와 “두 점을 지난다”는 조건 둘로 정확히 그 세 개를 채워 줍니다.
다만 그 첫 번째 조건이 곧바로 주어지지 않고, 내분점 → 수직 조건 → 직선의 방정식이라는 3단 조립을 거쳐야 얻어집니다. 앞 단원(평면좌표·직선의 방정식)에서 배운 도구를 원 문제 안에서 다시 꺼내 쓰는 셈이라, 단원을 넘나드는 연결력을 확인하기에 좋은 문항입니다. 마지막에 k가 반지름이 아니라 넓이의 계수라는 점도 함정으로 작동합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
문제를 뒤에서부터 읽어 보세요. 결국 필요한 것은 반지름의 제곱입니다. 그리고 원의 중심을 (a, b), 반지름을 r이라 두면 미지수가 셋이므로 조건도 셋이 필요합니다.
주어진 조건을 세어 보면 ① 중심이 어떤 직선 위에 있다, ② (−1, 0)을 지난다, ③ (2, 3)을 지난다로 정확히 세 개입니다. 그런데 ①의 직선이 아직 식으로 주어져 있지 않으니, 그 직선부터 만들어야 합니다. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점과 직선 AB의 기울기, 이 두 가지가 재료입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
내분점을 P라 하면 P(3, 3)이 나옵니다. 직선 AB의 기울기는 −1이므로 이에 수직인 직선의 기울기는 1입니다. 기울기 1이면서 P를 지나는 직선을 세우면 아주 깔끔한 식이 나옵니다. 이 식 위에 중심이 있다는 뜻이므로 중심을 (a, a) 꼴로 둘 수 있고, 미지수가 하나 줄어듭니다.
이제 (x−a)²+(y−a)²=r²에 두 점을 각각 대입해 두 식을 만들고 두 식을 빼세요. r²과 a²이 동시에 사라지면서 a에 대한 일차방정식이 됩니다. a를 구한 뒤 r²을 계산하고, 마지막으로 k가 넓이 kπ의 k임을 다시 확인하세요.
정답 확인
정답 k = 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A선분 AB를 2:1로 내분하는 점 구하기
A(1, 5), B(4, 2)에 대하여 선분 AB를 2:1로 내분하는 점을 P라 하면
P = ( (2×4 + 1×1) / (2+1) , (2×2 + 1×5) / (2+1) ) = ( 3, 3 )
STEP B직선 AB에 수직이고 P를 지나는 직선 구하기
직선 AB의 기울기는 (2−5)/(4−1) = −1이므로, 이에 수직인 직선의 기울기는 1입니다. 기울기가 1이고 P(3, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y = (x−3)+3, 즉 y = x입니다.
원의 중심은 이 직선 위에 있습니다.
STEP C중심을 (a, a)로 두고 원의 방정식 구하기
중심을 (a, a), 반지름을 r이라 하면 원의 방정식은 (x−a)² + (y−a)² = r²입니다. 두 점 (−1, 0), (2, 3)을 각각 대입하면
㉠ (−1−a)² + (−a)² = r²
㉡ (2−a)² + (3−a)² = r²
㉠−㉡을 하면 (2a²+2a+1) − (2a²−10a+13) = 0, 즉 12a − 12 = 0이므로 a = 1입니다. 이때 r² = (−1−1)² + (−1)² = 5이므로 원의 방정식은 (x−1)² + (y−1)² = 5입니다.
STEP D넓이에서 k 읽어내기
반지름의 길이가 √5이므로 원의 넓이는 π × (√5)² = 5π입니다. 넓이를 kπ라 했으므로 k = 5입니다.
1등급 다른 풀이 · 수직이등분선 두 개의 교점으로 읽기
원의 중심은 “그 원이 지나는 두 점에서 같은 거리에 있는 점”입니다. 다시 말해 중심은 항상 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선 위에 있습니다. 이 관점으로 바꾸면 미지수를 세우지 않고도 중심을 잡을 수 있습니다.
두 점 (−1, 0), (2, 3)의 중점은 (1/2, 3/2)이고 두 점을 잇는 직선의 기울기는 1이므로, 수직이등분선의 기울기는 −1입니다. 따라서 그 식은 y = −(x − 1/2) + 3/2, 즉 y = −x + 2입니다.
중심은 이 직선과 STEP B에서 구한 y = x의 교점이므로 x = −x + 2에서 x = 1, 즉 중심은 (1, 1)입니다. 반지름은 중심에서 (−1, 0)까지의 거리 √{(1+1)² + 1²} = √5이고, 넓이는 5π로 같은 답에 도달합니다. 연립방정식 대신 직선 두 개의 교점으로 처리하는 방식이라 계산이 훨씬 짧습니다.
실수를 줄이는 전략
- 내분의 방향을 확인하세요. “선분 AB를 2:1로 내분”은 A에서 출발해 B 쪽으로 2:1이므로 P(3, 3)입니다. 순서를 바꿔 1:2로 계산하면 P(2, 4)가 되어 이후 직선이 통째로 달라집니다.
- 수직 조건은 기울기의 곱이 −1입니다. 기울기 −1의 수직은 1이지, 부호만 바꾼 −1이나 역수 −1이 아닙니다. 이 문제처럼 원래 기울기가 −1이면 “부호를 바꿨는데 왜 같지?” 하는 착각이 생기기 쉬우니 곱해서 확인하세요.
- 중심이 y = x 위에 있다는 정보를 (a, b)로 두고 나중에 b = a를 대입하면 계산이 두 배로 늘어납니다. 처음부터 (a, a)로 두어 미지수를 하나 줄이고 시작하세요.
- 두 식을 뺄 때 r²이 사라지는 것이 핵심입니다. 각각을 전개해 r²을 따로 구하려 들면 이차식이 남아 답이 늦어집니다.
- 구하는 값은 반지름이 아니라 넓이의 계수입니다. r = √5까지 구해 놓고 k = √5로 답하는 실수가 매우 흔합니다. k = r²이라는 것을 답을 쓰기 직전에 다시 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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