TOUGH
최다빈출 · 왕중요
각의 이등분선 정리
내분점
지름과 원의 넓이
출제의도
이 문항은 좌표평면 위 삼각형에서 각의 이등분선의 발 D를 찾고, 선분 AD를 지름으로 하는 원의 넓이를 구하는 문제입니다. 겉보기에는 원 단원 문제지만 실제로 묻는 것은 중학교에서 배운 각의 이등분선 정리를 좌표로 옮길 수 있는가입니다.
필요한 도구가 세 개나 이어져 있다는 점이 이 문항의 난이도입니다. 두 점 사이의 거리로 AB, AC를 구하고 → 각의 이등분선 정리로 BD:DC의 비를 얻고 → 내분점 공식으로 D의 좌표를 만든 뒤 → 마지막에 AD의 절반이 반지름임을 확인해야 합니다. 어느 한 고리에서 비를 뒤집거나 지름과 반지름을 혼동하면 그때까지의 계산이 모두 무의미해집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구해야 하는 것은 원의 넓이이지만, 원의 방정식은 사실 필요 없습니다. 지름의 양 끝점이 A와 D로 주어졌으므로 AD의 길이 하나만 알면 넓이가 결정됩니다. 그러니 문제 전체는 “점 D의 좌표를 어떻게 구할 것인가”로 바뀝니다.
D는 ∠A의 이등분선이 BC와 만나는 점입니다. 여기서 떠올려야 할 것이 각의 이등분선 정리, 즉 AB : AC = BD : DC입니다. 그러면 먼저 손댈 것은 AB와 AC의 길이입니다. 두 점 사이의 거리 공식으로 계산해 비를 만들어 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB=5, AC=10이므로 BD : DC = 1 : 2입니다. 즉 D는 선분 BC를 B에서 C 방향으로 1:2로 내분하는 점입니다. 내분점 공식에 B(−4, 0), C(5, −4)를 넣어 D를 구하세요. 이때 비의 앞뒤 순서를 지키는 것이 관건입니다.
D의 좌표가 나오면 A와 x좌표가 같다는 사실이 눈에 들어옵니다. 그러면 AD는 세로 선분이 되어 y좌표의 차 하나로 길이가 끝납니다. 마지막으로 반지름은 AD의 절반임을 확인한 뒤 넓이 πr²을 계산하세요.
정답 확인
정답 ⑤ 원의 넓이 = 649π
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 변의 길이로 BD : DC 구하기
두 점 사이의 거리에 의하여 AB=√{(−4+1)²+(0−4)²}=√25=5, AC=√{(5+1)²+(−4−4)²}=√100=10입니다.
AD가 ∠A의 이등분선이므로 각의 이등분선 정리에 의하여 AB : AC = BD : DC = 5 : 10 = 1 : 2입니다.
STEP B내분점 공식으로 D의 좌표 구하기
D는 선분 BC를 1:2로 내분하는 점이므로, B(−4, 0), C(5, −4)에 대하여
D = ( (1×5 + 2×(−4)) / (1+2) , (1×(−4) + 2×0) / (1+2) ) = ( −1, −43 )
A(−1, 4)와 D(−1, −4/3)의 x좌표가 −1로 같으므로 선분 AD는 y축에 평행한 세로 선분입니다.
STEP C반지름과 넓이 계산
AD = 4 − (−4/3) = 163 이고, A와 D가 지름의 양 끝점이므로 반지름은 그 절반인 r = 83 입니다.
따라서 구하는 원의 넓이는 π × (8/3)² = 649π 입니다.
1등급 다른 풀이 · 원의 방정식까지 써 보기
문제가 넓이만 물었기 때문에 위 풀이에서는 원의 방정식을 만들지 않았습니다. 다만 내신 서술형에서는 “원의 방정식을 구하시오”로 바뀌어 나오는 경우가 많으니 한 걸음 더 진행해 두면 좋습니다.
지름의 양 끝점이 A(−1, 4), D(−1, −4/3)이므로 중심은 두 점의 중점, 즉 ( −1, (4 − 4/3)/2 ) = ( −1, 4/3 )이고 반지름은 8/3입니다. 따라서 원의 방정식은 (x+1)² + (y − 4/3)² = 64/9입니다.
또 하나 기억해 둘 형태가 있습니다. 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 지름의 양 끝점으로 하는 원은 (x−x₁)(x−x₂) + (y−y₁)(y−y₂) = 0으로 곧바로 쓸 수 있습니다. 중점과 반지름을 따로 구하지 않아도 되므로 검산용으로 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- 각의 이등분선 정리는 대응 순서가 생명입니다. AB : AC = BD : DC이므로 5 : 10 = BD : DC, 즉 1 : 2입니다. 이를 2 : 1로 뒤집으면 D(2, −8/3)이 되어 답이 완전히 달라집니다.
- 내분점 공식에서 m : n으로 내분할 때 분자는 (m×뒤점 + n×앞점)입니다. 비의 숫자와 점의 순서가 엇갈리는 형태라 손이 먼저 나가면 틀리기 쉬우니, 공식을 쓰기 전에 “누가 앞점인가”를 한 번 소리 내어 확인하세요.
- 지름과 반지름을 혼동하지 마세요. AD=16/3은 지름이고 넓이에 들어가는 값은 r=8/3입니다. 16/3을 그대로 제곱하면 256π/9가 되어 선택지에서 헤매게 됩니다.
- AD의 길이는 굳이 거리 공식을 전부 전개할 필요가 없습니다. x좌표가 −1로 같다는 것을 확인했다면 y좌표의 차만으로 끝납니다. 이런 관찰이 계산 실수를 줄이는 가장 확실한 방법입니다.
- 좌표를 대충이라도 그려 보세요. A는 2사분면 위쪽, C는 4사분면 아래쪽이므로 D가 x축 살짝 아래에 놓이는 것이 자연스럽습니다. 그림과 계산 결과가 어긋나면 그 자리에서 비를 다시 확인할 수 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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