TOUGH
2023년 11월 고1 학력평가 14번
일반형 → 표준형
지름과 최대 넓이
학력평가 기출
출제의도
이 문항은 원의 일반형을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 미지수로 표현한 뒤, 삼각형 넓이의 최댓값 조건에서 남은 미지수를 확정하는 문제입니다. 계산 자체는 어렵지 않지만 어디를 보아야 하는지를 모르면 손을 대기 어렵습니다.
결정적인 관찰은 하나입니다. 직선 y = 2x − 1이 원 C의 중심을 지난다는 사실입니다. 그러면 이 직선이 원과 만나는 두 점 A, B는 자동으로 지름의 양 끝점이 되고, 밑변 AB의 길이는 2r로 고정됩니다. 남는 것은 높이뿐이고, 원 위의 점 P가 중심에서 가장 멀리 떨어질 때의 거리, 즉 반지름이 높이의 최댓값입니다. 조건 하나가 문제 전체를 반지름 하나의 이야기로 압축하는 구조입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 x² + y² − 2x − ay − b = 0을 완전제곱식으로 정리해 중심과 반지름을 a, b로 나타내세요. 중심이 직선 y = 2x − 1 위에 있다는 조건을 대입하면 a는 곧바로 결정됩니다.
그다음 문장을 다시 읽으세요. 원 C와 같은 직선 y = 2x − 1이 만나는 점이 A, B라고 했습니다. 그 직선이 중심을 지난다는 사실을 이미 알고 있다면, 선분 AB가 무엇인지 이름을 붙일 수 있습니다. 여기까지 오면 남은 미지수는 b 하나뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB는 지름이므로 밑변의 길이는 2r로 고정입니다. 삼각형 ABP의 넓이는 밑변이 고정된 상태에서 높이에만 의존하고, 높이는 점 P에서 직선 AB까지의 거리입니다. P가 원 위를 움직일 때 이 거리가 가장 커지는 순간이 언제인지 그림으로 떠올려 보세요.
높이의 최댓값을 r로 잡으면 넓이의 최댓값은 ½ × 2r × r = r²이라는 아주 단순한 식이 됩니다. 이것이 4라는 조건에서 r²을 알아내고, 앞에서 구해 둔 r² = b + 2와 비교해 b를 확정한 뒤 a + b를 계산하세요.
정답 확인
정답 ④ a + b = 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A표준형으로 고쳐 a의 값 구하기
x² + y² − 2x − ay − b = 0에서 x, y에 대해 각각 완전제곱을 만들면
(x−1)² + ( y − a2 )² = a²4 + b + 1
즉 중심은 (1, a/2)이고 반지름은 √(a²/4 + b + 1)입니다. 중심이 직선 y = 2x − 1 위에 있으므로 a/2 = 2×1 − 1 = 1, 따라서 a = 2입니다. 이때 중심은 (1, 1), 반지름은 √(b+2)가 됩니다.
STEP BAB가 지름임을 확인하기
직선 y = 2x − 1은 원 C의 중심 (1, 1)을 지납니다. 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점이 A, B이므로 선분 AB는 원 C의 지름이고, 그 길이는 2√(b+2)로 고정입니다.
STEP C높이의 최댓값과 b의 값
삼각형 ABP의 밑변을 AB로 보면 높이는 점 P에서 직선 AB까지의 거리입니다. P는 원 위의 점이므로 이 거리는 아무리 커도 반지름을 넘을 수 없고, P가 지름 AB의 수직이등분선 위(원 위의 양 끝)에 놓일 때 최댓값 √(b+2)를 가집니다.
넓이의 최댓값 = ½ × 2√(b+2) × √(b+2) = b + 2 = 4
따라서 b = 2이고, a = 2이므로 a + b = 4입니다.
1등급 다른 풀이 · 반지름 하나로 정리하기
이 문항은 결국 “지름을 밑변으로 하는 삼각형의 최대 넓이는 r²”이라는 한 문장으로 압축됩니다. 밑변 2r, 높이의 최댓값 r을 넣으면 ½ × 2r × r = r²이기 때문입니다. 이 결론을 알고 있으면 b를 끝까지 끌고 갈 필요 없이 r² = 4, 즉 r = 2를 먼저 확정할 수 있습니다.
그다음 표준형에서 r² = a²/4 + b + 1이고 a = 2이므로 1 + b + 1 = 4에서 b = 2가 바로 나옵니다. 원 C는 (x−1)² + (y−1)² = 4이며, 실제로 중심 (1, 1)이 직선 y = 2x − 1 위에 있는지 대입해 검산하면 2×1 − 1 = 1로 맞습니다.
같은 구조가 “지름이 아닌 현 AB”로 바뀌면 난도가 한 단계 올라갑니다. 그때는 중심에서 직선까지의 거리 d를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구하고, 현의 길이 2√(r²−d²), 높이의 최댓값 r + d로 넓이를 세웁니다. 이 문항은 d = 0인 가장 단순한 경우라고 기억해 두면 확장이 쉽습니다.
실수를 줄이는 전략
- 일반형에서 상수항의 부호에 주의하세요. 좌변이 −b이므로 이항하면 r² = a²/4 + b + 1이 됩니다. −b를 그대로 옮겨 r² = a²/4 − b + 1로 쓰면 b의 값이 반대로 나옵니다.
- “중심이 직선 위에 있다”는 조건은 중심의 좌표를 직선의 식에 대입하라는 뜻입니다. 이 문제에서는 그 한 줄로 a가 즉시 결정되므로, 여기서 막히면 뒤가 전부 멈춥니다.
- AB가 지름임을 확인하지 못하면 A, B의 좌표를 직접 구하려다 시간을 크게 잃습니다. 원과 직선이 만나는 문제에서는 항상 직선이 중심을 지나는지부터 확인하는 습관을 들이세요.
- 높이의 최댓값이 반지름이라는 사실은 그림으로 확인하는 것이 안전합니다. P가 지름에서 가장 멀어지는 위치는 지름과 수직인 반지름의 끝, 즉 거리 r인 지점입니다.
- 답을 구한 뒤 원이 실제로 존재하는지 점검하세요. r² = b + 2 > 0이어야 하며, b = 2일 때 r = 2로 문제가 없습니다. 또 P는 A도 B도 아니라는 단서가 있으므로 삼각형이 찌그러지는 경우는 애초에 제외되어 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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