TOUGH
최다빈출 · 왕중요
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 내심
각의 이등분선
출제의도
이 문항은 ‘내심’이라는 도형 용어를 좌표평면의 식으로 옮길 수 있는지를 묻습니다. 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점이므로, 점 B와 내심을 지나는 직선은 결국 ∠B의 이등분선입니다. 여기까지 번역이 되면 문제는 ‘두 직선 AB, BC가 이루는 각의 이등분선을 구하라’로 바뀝니다.
각의 이등분선을 식으로 만드는 도구는 하나뿐입니다. 이등분선 위의 점은 두 직선에 이르는 거리가 같다는 성질이죠. 그런데 이 조건은 절댓값 방정식이 되어 항상 두 개의 직선을 내놓습니다. 내각의 이등분선과 외각의 이등분선이 함께 나오는 것입니다. 선택지 ②와 ③이 정확히 그 두 직선이고, ①과 ④는 각각 직선 AB와 직선 BC 자신입니다. 계산을 끝낸 뒤 어느 쪽이 삼각형 내부를 지나는가를 판정하는 마지막 한 걸음까지 가야 정답에 도착합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
내심의 정의를 먼저 떠올리세요. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로, 점 B와 내심을 잇는 직선은 ∠B의 이등분선과 같은 직선입니다. 내심의 좌표를 굳이 구할 필요가 없다는 뜻입니다.
∠B를 만드는 두 변은 BA와 BC입니다. 그러니 먼저 직선 AB와 직선 BC의 방정식을 각각 구해 두세요. 두 점을 지나는 직선의 방정식이므로 기울기부터 계산하면 됩니다. 여기까지 준비되면 남은 일은 ‘두 직선이 이루는 각의 이등분선 구하기’ 하나입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이등분선 위의 점 P(x, y)는 두 직선에 이르는 거리가 같습니다. 직선 AB는 x+2y−1=0, 직선 BC는 2x−y−7=0인데, 두 직선의 분모가 √5로 같다는 점이 이 문항의 선물입니다. 거리 식을 세우면 분모가 지워지고 |x+2y−1|=|2x−y−7|만 남습니다.
절댓값을 벗기면 x+2y−1=±(2x−y−7), 즉 두 개의 직선이 나옵니다. 하나는 내각의 이등분선, 다른 하나는 외각의 이등분선입니다. 둘 중 삼각형 내부를 지나는 쪽을 골라야 하는데, 각 후보 식에 점 A와 점 C를 대입해 보세요. 내각의 이등분선은 선분 AC와 만나므로 A와 C를 대입한 값의 부호가 서로 반대가 됩니다.
정답 확인
정답 ② 3x+y−8=0
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A구하는 직선의 정체 파악
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다. 따라서 점 B와 내심을 지나는 직선은 곧 ∠B의 이등분선이며, 이는 직선 AB와 직선 BC가 이루는 각을 이등분하는 직선입니다.
STEP B두 직선 AB, BC의 방정식 구하기
A(−1, 1), B(3, −1)을 지나는 직선의 기울기는 (−1−1)/(3−(−1)) = −12이므로 y−1 = −12(x+1), 즉 x+2y−1=0입니다.
B(3, −1), C(5, 3)을 지나는 직선의 기울기는 (3−(−1))/(5−3) = 2이므로 y−3 = 2(x−5), 즉 2x−y−7=0입니다.
STEP C거리가 같다는 조건으로 이등분선 구하기
이등분선 위의 점을 P(x, y)라 하면 P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로
|x+2y−1| / √(1²+2²) = |2x−y−7| / √(2²+(−1)²)
양변의 분모가 모두 √5이므로 |x+2y−1| = |2x−y−7|, 즉 x+2y−1 = ±(2x−y−7)입니다.
( i ) 부호가 +일 때 — x+2y−1 = 2x−y−7에서 x−3y−6=0 (선택지 ③)
( ii ) 부호가 −일 때 — x+2y−1 = −(2x−y−7)에서 3x+y−8=0 (선택지 ②)
두 직선 중 하나는 내각, 다른 하나는 외각의 이등분선입니다. 그림에서 ∠B의 이등분선은 y절편이 양수여야 하므로 구하는 직선은 3x+y−8=0입니다. (x−3y−6=0의 y절편은 −2입니다.)
1등급 다른 풀이 · 이등변삼각형으로 읽기
세 변의 길이를 먼저 재 보면 계산이 절반 이하로 줄어듭니다.
BA = √{(3−(−1))²+(−1−1)²} = √20 = 2√5, BC = √{(5−3)²+(3−(−1))²} = √20 = 2√5로 BA = BC인 이등변삼각형입니다. 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 곧 밑변의 수직이등분선이므로, ∠B의 이등분선은 선분 AC의 중점을 지납니다.
AC의 중점은 M((−1+5)/2, (1+3)/2) = M(2, 2)이고, 두 점 B(3, −1)과 M(2, 2)을 지나는 직선의 기울기는 (2−(−1))/(2−3) = −3입니다. 따라서 y−2 = −3(x−2), 즉 3x+y−8=0이 곧바로 나옵니다. 절댓값 방정식도, 내각·외각 판정도 필요 없이 한 줄로 끝나는 접근입니다.
내부 판정을 식으로 확인하고 싶다면 후보에 A와 C를 대입해 보세요. 3x+y−8에 A(−1, 1)을 넣으면 −10, C(5, 3)을 넣으면 10으로 부호가 반대라 이 직선은 선분 AC와 만납니다. 반면 x−3y−6은 A에서도 C에서도 −10으로 부호가 같아 선분 AC와 만나지 않는 외각의 이등분선임을 알 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 내심 문제라고 해서 내심의 좌표를 직접 구하려 들지 마세요. 세 변의 길이로 가중평균을 계산하는 방식은 루트가 섞여 계산이 폭발합니다. ‘내심을 지나는 직선 = 각의 이등분선’으로 번역하는 것이 정석입니다.
- 각의 이등분선 조건은 거리가 같다 하나뿐입니다. 그리고 그 결과는 언제나 서로 수직인 두 직선(내각·외각)입니다. 하나만 구하고 멈추면 절반의 확률로 오답입니다.
- 선택지 ① x+2y−1=0과 ④ 2x−y−7=0은 각각 직선 AB, BC 자신입니다. 계산 도중 얻은 식을 그대로 답으로 고르는 실수를 노린 배치이므로, 최종 답이 무엇을 묻는지 다시 확인하세요.
- 내각·외각 판정은 그림에 의존하지 말고 부호 대입으로 확정하는 습관을 들이세요. 내각의 이등분선은 대변(선분 AC)과 만나므로, 양 끝점을 대입한 값의 부호가 반대입니다.
- 두 직선의 계수 크기가 다르면 분모가 지워지지 않습니다. 이 문항은 √(1²+2²) = √(2²+1²)로 우연히 같아 편했을 뿐이니, 일반적인 경우에는 분모를 반드시 살려 두고 양변을 정리하세요.
엄선된 풀이 영상
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