TOUGH
정점을 지나는 직선
직선의 기울기
각의 이등분선
출제의도
x−y+2+k(3x+y−6)=0이라는 한 줄의 식이 사실은 직선 하나가 아니라 직선의 무리라는 점을 이해했는지 묻는 문항입니다. k가 변할 때마다 다른 직선이 되지만, 모든 직선이 공통으로 지나는 점이 하나 있습니다. 이 구조를 ‘항등식’으로 읽어내는 것이 ㄱ의 핵심입니다.
보기 세 개는 난이도가 계단식으로 올라갑니다. ㄱ은 정점, ㄴ은 기울기 계산, ㄷ은 각의 이등분선이라는 별개의 개념을 끌어옵니다. 특히 ㄷ은 ‘각의 이등분선 = 두 직선에서 거리가 같은 점들의 자취‘라는 정의로 되돌아가야 하고, 그 자취가 언제나 두 개라는 사실까지 챙겨야 합니다. 세 보기를 각각 독립적으로 검증해야 하므로 한 문항 안에 세 문항이 들어 있는 셈입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
ㄱ은 ‘어떤 k를 넣어도 항상 지나는 점’을 묻습니다. 주어진 식을 k에 대한 식으로 보면 (3x+y−6)k + (x−y+2) = 0 꼴입니다. 이 등식이 k의 값에 관계없이 성립하려면 k의 계수와 상수항이 동시에 0이어야 한다는 항등식의 성질을 쓰세요.
ㄴ은 반대로 x, y에 대한 직선의 방정식으로 정리해야 합니다. x끼리, y끼리 묶어 (□)x+(□)y+□=0 꼴로 만든 뒤 기울기 −(x계수)/(y계수)를 −1로 놓으면 됩니다.
ㄷ은 k=−3을 대입해 어떤 직선이 나오는지부터 확인하세요. 그리고 ‘각의 이등분선’을 각도가 아니라 거리의 언어로 바꿔 읽는 것이 열쇠입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
ㄴ에서 정리한 식은 (1+3k)x+(k−1)y+(2−6k)=0입니다. 기울기가 −1이 되는 k를 구할 때 y의 계수가 0이 되는 k=1은 제외해야 한다는 점만 조심하면 일차방정식으로 끝납니다.
ㄷ에서 각의 이등분선 위의 점 P(x, y)는 두 직선 3x−y=0, x+3y−10=0에서 같은 거리에 있습니다. 두 직선의 거리 공식 분모가 각각 √(3²+(−1)²)와 √(1²+3²)로 둘 다 √10이라 분모가 그대로 약분되고, |3x−y| = |x+3y−10|이라는 절댓값 등식만 남습니다.
절댓값을 벗기면 3x−y = ±(x+3y−10)이므로 이등분선은 두 개 나옵니다. k=−3일 때 얻은 직선이 그 둘 중 하나와 일치하는지만 확인하면 ㄷ의 참·거짓이 결정됩니다.
정답 확인
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · 항상 지나는 점 구하기
x−y+2+k(3x+y−6)=0이 k의 값에 관계없이 성립해야 하므로 이는 k에 대한 항등식입니다. 항등식의 성질에 의해 x−y+2=0과 3x+y−6=0이 동시에 성립해야 합니다.
두 식을 연립하면 x=1, y=3이므로 주어진 직선은 k의 값에 관계없이 항상 점 (1, 3)을 지납니다. → ㄱ 참
STEP Bㄴ · 기울기가 −1이 되는 k 찾기
주어진 식을 x, y에 대해 정리하면 (1+3k)x+(−1+k)y+2−6k=0입니다. 기울기는 −(1+3k)/(k−1) = (1+3k)/(1−k)이므로
(1+3k)/(1−k) = −1 → 1+3k = −1+k → 2k = −2 → k = −1
k=−1을 대입하면 x+y−4=0으로 기울기가 실제로 −1이고 점 (1, 3)도 지납니다. 그러한 k가 존재하므로 → ㄴ 참
STEP Cㄷ · 각의 이등분선인지 확인하기
k=−3을 대입하면 x−y+2−3(3x+y−6) = −8x−4y+20 = 0, 즉 2x+y−5=0입니다.
두 직선 3x−y=0, x+3y−10=0이 이루는 각의 이등분선 위의 점을 P(x, y)라 하면, P에서 두 직선에 이르는 거리가 같으므로
|3x−y| / √(3²+(−1)²) = |x+3y−10| / √(1²+3²) → |3x−y| = |x+3y−10|
3x−y = ±(x+3y−10)에서 x−2y+5=0 또는 2x+y−5=0이 얻어집니다. k=−3일 때의 직선이 이 중 하나와 정확히 일치하므로 → ㄷ 참
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 정점을 ㄷ까지 끌고 가기
ㄱ에서 얻은 정점 (1, 3)은 ㄷ에서 그대로 재활용됩니다. 실제로 3x−y=0에 (1, 3)을 넣으면 3−3=0, x+3y−10=0에 넣으면 1+9−10=0이므로 두 직선의 교점이 바로 (1, 3)입니다. 각의 이등분선은 반드시 교점을 지나므로, k=−3일 때의 직선이 이등분선이 될 자격은 이미 갖춘 셈입니다. 남은 확인은 기울기 하나뿐입니다.
게다가 두 직선의 기울기는 3과 −1/3으로 곱이 −1, 즉 서로 수직입니다. 수직인 두 직선이 이루는 각의 이등분선은 각 직선과 45°를 이루므로, 기울기 3인 직선을 기준으로 ±45° 돌린 방향의 기울기는 (3+1)/(1−3) = −2와 (3−1)/(1+3) = 1/2입니다. k=−3에서 얻은 2x+y−5=0의 기울기가 −2이므로 조건을 만족합니다. 거리 공식을 세우지 않고도 ㄷ이 참임을 확인할 수 있습니다.
정리하면 이 문항은 ㄱ에서 찾은 점 (1, 3)이 ㄷ의 두 직선의 교점과 같다는 숨은 연결고리를 갖고 설계된 문제입니다. 보기를 따로따로 푸는 대신 이 고리를 발견하면 전체가 한 덩어리로 풀립니다.
실수를 줄이는 전략
- ㄱ 유형은 k에 대한 항등식으로 보는 것이 정석입니다. x, y에 대해 먼저 정리해 버리면 정점이 보이지 않으니, 정점을 찾을 때만큼은 괄호를 그대로 두고 k의 계수와 상수항을 각각 0으로 놓으세요.
- 이 직선다발은 정점 (1, 3)을 지나는 모든 직선을 표현하지는 못합니다. 어떤 k를 넣어도 3x+y−6=0 자신은 나오지 않습니다. ‘정점을 지나는 임의의 직선’으로 단정하는 서술이 보기에 섞여 나오면 함정입니다.
- 기울기를 −(x계수)/(y계수)로 계산할 때 y계수가 0이 되는 k는 따로 봐야 합니다. 여기서는 k=1일 때 4x−4=0, 즉 x=1이라는 수직선이 되어 기울기가 없습니다.
- 각의 이등분선은 항상 두 개입니다. 절댓값을 벗기면서 부호 하나만 취하고 ‘일치하지 않으니 거짓’이라고 판단하면 ㄷ을 놓칩니다. 두 개를 모두 구한 뒤 비교하세요.
- 거리 등식에서 분모를 지우는 것은 두 직선의 분모가 같을 때만 가능합니다. 이 문제는 √10으로 같아서 바로 지워지지만, 다른 문제에서는 반드시 분모를 살린 채 정리해야 합니다.
- k=−3 대입 후 −8x−4y+20=0을 그대로 두면 이등분선 식과 모양이 달라 보입니다. −4로 나누어 2x+y−5=0으로 정리한 뒤 비교하는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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