최다빈출 왕중요
TOUGH
두 점을 지나는 직선
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 넓이
출제의도
0272번이 ‘넓이를 구하라’였다면 이 문항은 방향이 반대입니다. 넓이가 먼저 주어지고 그 조건을 만족시키는 미지수를 되찾아야 합니다. 세 꼭짓점 중 두 개는 좌표가 확정되어 있고 나머지 하나만 x좌표가 미지수 a이므로, 확정된 두 점을 밑변으로 고정하는 것이 자연스러운 출발점입니다.
주목할 부분은 묻는 대상이 ‘a의 값’이 아니라 ‘모든 실수 a의 값의 합’이라는 점입니다. 넓이 조건을 정리하면 절댓값 방정식이 되고, 절댓값 방정식은 항상 한 값을 중심으로 좌우 대칭인 두 근을 내놓습니다. 이 구조를 알아채면 근을 각각 구하지 않고도 합을 즉시 말할 수 있습니다. 계산 능력과 구조를 보는 눈을 동시에 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
미지수 a는 점 C에만 들어 있습니다. 그러니 A와 B를 잇는 변, 즉 미지수가 전혀 없는 변을 밑변으로 삼으면 밑변의 길이는 상수로 확정됩니다. 남은 미지수는 오직 높이 하나뿐이 되죠.
높이는 점 C에서 직선 AB까지의 거리입니다. 따라서 먼저 해야 할 일은 두 가지입니다. 하나는 두 점 사이의 거리 공식으로 AB의 길이를 구하는 것, 다른 하나는 두 점을 지나는 직선 AB의 방정식을 Ax+By+C=0 꼴로 세워두는 것입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB의 길이에 √2가 나오고, 직선 AB의 방정식이 x−y+1=0이라 거리 공식의 분모에도 √2가 나옵니다. 넓이식 ½ × AB × h를 정리하면 √2가 서로 약분되어 a에 대한 깔끔한 절댓값 방정식 하나만 남습니다.
절댓값 방정식 |a+4|=(어떤 양수) 꼴이 되면 a+4=±(그 값)에서 근이 둘 나옵니다. 여기서 잠깐 멈춰 보세요. 두 근은 a=−4를 기준으로 정확히 같은 거리만큼 떨어져 있으므로, 합은 −4의 두 배입니다. 근을 실제로 구하지 않아도 답이 보이는지 확인해 보세요.
정답 확인
정답 ③ 모든 실수 a의 값의 합 = −8
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑변 AB의 길이와 직선 AB의 방정식
A(2, 3), B(−2, −1)에 대하여 AB = √{(−2−2)²+(−1−3)²} = √(16+16) = 4√2입니다.
직선 AB의 기울기는 (−1−3)/(−2−2) = 1이므로 y−3 = 1×(x−2), 정리하면 x−y+1=0입니다.
STEP B높이를 a로 표현하기
높이 h는 점 C(a, −3)에서 직선 x−y+1=0까지의 거리입니다.
h = |a−(−3)+1| ÷ √(1²+(−1)²) = |a+4| / √2
STEP C넓이 조건에서 a 구하고 합 계산
삼각형 ABC의 넓이가 18이므로
½ × 4√2 × |a+4|√2 = 2|a+4| = 18, 즉 |a+4| = 9입니다.
따라서 a+4 = 9 또는 a+4 = −9이므로 a = 5 또는 a = −13이고, 모든 실수 a의 값의 합은 5+(−13) = −8입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭으로 합을 먼저 읽기
|a+4|=9라는 식이 나온 순간, 두 근은 수직선 위에서 −4를 중심으로 좌우 9씩 떨어진 점이라는 뜻입니다. 대칭점의 합은 언제나 중심의 두 배이므로 합 = 2×(−4) = −8이 즉시 나옵니다. 5와 −13을 각각 구하는 과정은 검산용일 뿐입니다.
기하적으로 읽으면 더 선명합니다. 점 C는 y=−3인 수평선 위를 움직이는 점이고, 넓이가 18로 고정되면 C가 직선 AB에서 떨어진 거리도 고정됩니다. 그런 점은 직선 AB의 양쪽에 하나씩 생기고, 두 점은 AB에 수직인 방향으로 대칭입니다. 그 대칭의 중심은 직선 AB와 y=−3의 교점, 즉 x−(−3)+1=0에서 x=−4인 점 (−4, −3)입니다. 두 해의 중점이 −4라는 사실이 좌표에서 바로 확인되는 셈입니다.
같은 결과를 좌표만으로 얻고 싶다면 평행이동을 쓸 수도 있습니다. B(−2, −1)를 원점으로 옮기면 A′(4, 4), C′(a+2, −2)가 되고, 넓이 = ½|4×(−2) − (a+2)×4| = ½|−4a−16| = 2|a+4|로 STEP C와 같은 식이 한 줄에 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 밑변은 미지수가 없는 변으로 잡는 것이 원칙입니다. 미지수가 들어간 변을 밑변으로 삼으면 길이에도 a, 높이에도 a가 들어가 루트가 남은 채 얽혀버립니다.
- 절댓값을 벗길 때 양수 쪽만 처리하고 끝내는 실수가 가장 흔합니다. |a+4|=9에서 a=5만 답하면 선택지 ①~⑤ 어디에도 걸리지 않으니, 답이 안 보이면 부호를 놓쳤는지부터 의심하세요.
- ‘모든 값의 합’을 묻는 문제는 근을 다 구하기 전에 합만 뽑아낼 구조가 있는지 먼저 살피세요. 절댓값 방정식이면 대칭중심의 2배, 이차방정식이면 근과 계수의 관계로 곧장 나옵니다.
- 두 점을 지나는 직선을 세운 뒤에는 양 끝점을 모두 대입해 검산하세요. 기울기 부호 하나가 틀리면 이후 거리 계산이 전부 무너지는데, 그 사실을 알아챌 단서가 마지막까지 나오지 않습니다.
- a=−4이면 세 점이 한 직선 위에 놓여 삼각형이 만들어지지 않습니다. 이 문제는 넓이가 18(≠0)로 주어져 자동으로 배제되지만, 넓이가 문자로 주어지는 유형에서는 일직선이 되는 경우를 반드시 따로 점검해야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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