최다빈출 왕중요
TOUGH
두 직선의 교점
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 넓이
출제의도
세 직선의 방정식만 주어지고 꼭짓점 좌표는 하나도 주어지지 않은 상태에서 삼각형의 넓이를 묻는 문항입니다. 그림도 없기 때문에, 학생이 스스로 연립 → 좌표 확보 → 밑변·높이 결정 → 넓이라는 순서를 만들어야 합니다.
이 문제가 최다빈출로 분류되는 이유는 도형의 방정식 단원에서 배우는 두 도구, 즉 두 점 사이의 거리 공식과 점과 직선 사이의 거리 공식을 한 문항에서 연달아 쓰게 만들기 때문입니다. 계산 자체는 어렵지 않지만, 밑변을 어느 변으로 잡느냐에 따라 루트가 깔끔하게 약분되기도 하고 끝까지 지저분하게 남기도 합니다. 도구를 아는 것과 도구를 고르는 것은 다른 능력이고, 이 문항은 후자를 묻습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
넓이를 구하려면 결국 꼭짓점이 필요합니다. 세 직선을 두 개씩 짝지으면 짝이 세 개 나오고, 각 짝을 연립한 해가 곧 꼭짓점의 좌표입니다. 먼저 세 꼭짓점을 모두 좌표로 확보해 두세요.
좌표가 손에 들어오면 그 다음은 선택의 문제입니다. 삼각형의 넓이는 밑변 × 높이 ÷ 2이고, 밑변은 두 점 사이의 거리, 높이는 남은 한 점에서 그 밑변을 품은 직선까지의 거리로 계산됩니다. 세 직선의 방정식이 이미 주어져 있다는 점이 여기서 큰 이점이 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 꼭짓점을 A, B, C라 하고, 밑변을 하나 고르세요. 이때 밑변의 길이에 나오는 루트와 높이의 분모에 나오는 루트가 같아지는 조합을 고르면 마지막에 약분되어 정수 답이 바로 나옵니다. 밑변을 직선 4x+y−23=0 위의 두 점으로 잡으면 길이에 √17이, 점과 직선 사이의 거리 공식 분모에도 √(4²+1²)=√17이 등장합니다.
즉 넓이 = ½ × (밑변) × (높이)에서 √17이 서로 지워지도록 설계하는 것이 이 문제의 요령입니다. 어느 변을 밑변으로 잡아도 답은 같으니, 계산이 끝난 뒤 다른 변으로 한 번 더 확인해 보면 검산까지 됩니다.
정답 확인
정답 삼각형의 넓이 = 25
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 직선을 두 개씩 연립하여 꼭짓점 구하기
x−y+3=0과 4x+y−23=0을 연립하면 x=4, y=7입니다. 4x+y−23=0과 3x+7y−11=0을 연립하면 x=6, y=−1이고, x−y+3=0과 3x+7y−11=0을 연립하면 x=−1, y=2입니다.
따라서 세 꼭짓점은 A(4, 7), B(6, −1), C(−1, 2)입니다. 구한 좌표는 반드시 원래 두 직선에 대입해 검산하세요.
STEP B밑변의 길이와 높이 구하기
밑변을 선분 AB로 잡습니다. A(4, 7), B(6, −1)이므로
밑변 — AB = √{(6−4)²+(−1−7)²} = √(4+64) = √68 = 2√17
A와 B는 모두 직선 4x+y−23=0 위의 점이므로, 높이 h는 남은 꼭짓점 C(−1, 2)에서 이 직선까지의 거리입니다.
높이 — h = |4×(−1)+2−23| ÷ √(4²+1²) = 25 ÷ √17 = 25/√17
STEP C삼각형 ABC의 넓이 계산
넓이 = ½ × AB × h = ½ × 2√17 × 25√17 = 25입니다. 밑변에 있던 √17과 높이의 분모 √17이 그대로 약분되어 정수 25가 남습니다.
1등급 다른 풀이 · 한 꼭짓점을 원점으로 옮기기
꼭짓점 좌표만 알고 있으면, 직선의 방정식을 다시 쓰지 않고도 넓이를 한 줄에 계산할 수 있습니다. 삼각형을 통째로 평행이동해도 넓이는 변하지 않는다는 사실을 이용합니다.
C(−1, 2)가 원점으로 가도록 세 점을 모두 (+1, −2)만큼 평행이동하면 C′(0, 0), A′(5, 5), B′(7, −3)이 됩니다. 원점과 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)로 이루어진 삼각형의 넓이는 ½|x₁y₂−x₂y₁|이므로,
넓이 = ½|5×(−3) − 7×5| = ½|−15−35| = ½ × 50 = 25로 곧바로 나옵니다. 밑변을 무엇으로 잡을지 고민할 필요도, 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓸 필요도 없어 검산용으로 특히 쓸모가 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 밑변은 아무 변이나 잡아도 답이 같지만, 루트가 약분되는 짝을 고르면 계산이 절반으로 줄어듭니다. 밑변이 놓인 직선의 방정식이 Ax+By+C=0으로 이미 주어져 있는 변을 우선 고르세요.
- 점과 직선 사이의 거리 공식은 직선이 반드시 Ax+By+C=0 꼴일 때만 그대로 쓸 수 있습니다. y=mx+n 형태로 받았다면 먼저 이항해서 정리한 뒤 대입하세요.
- 연립으로 구한 꼭짓점은 두 직선 모두에 대입해 검산하는 습관을 들이세요. 세 꼭짓점 중 하나만 틀려도 넓이는 전혀 다른 값이 나오는데, 중간에 이상함을 느낄 단서가 거의 없습니다.
- 거리 공식의 분자에는 절댓값이 붙습니다. C(−1, 2)를 대입하면 −25가 나오는데, 절댓값을 빼먹고 음수 높이를 그대로 쓰면 넓이가 음수가 됩니다.
- 넓이 공식 ½|x₁y₂−x₂y₁|을 쓸 때는 반드시 한 꼭짓점을 원점으로 옮긴 뒤 적용해야 합니다. 평행이동 없이 원래 좌표를 그대로 넣는 것이 가장 흔한 실수입니다.
엄선된 풀이 영상
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