TOUGH
2017년 11월 고1 학력평가 19번
곡선과 직선 사이의 거리
평행한 두 직선 사이의 거리
최솟값의 최댓값
출제의도
바로 앞 문항(0266)이 “곡선과 직선 사이의 최단거리”였다면, 이 문항은 거기에 한 겹을 더 씌운 학력평가 기출입니다. 문자 a가 곡선에도, 직선에도 동시에 들어가 있어서 최단거리 자체가 a의 함수 f(a)가 되고, 문제는 그 f(a)를 다시 최대로 만들라고 요구합니다. 최솟값을 구한 뒤 그 최솟값의 최댓값을 구하는 이중 최적화 구조입니다.
진짜 난이도는 3<a<7이라는 조건에 있습니다. 이 한 줄이 풀이 전체에서 세 번 일합니다. 곡선과 직선이 만나지 않음을 보장하고, 절댓값을 벗길 때 부호를 정해주며, 마지막에 a=5가 범위 안에 있어 최댓값이 실제로 도달 가능함을 확인해 줍니다. 조건을 장식으로 흘려보내면 세 곳 모두에서 막히는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
가장 먼저 할 일은 포물선과 직선이 정말 만나지 않는지 확인하는 것입니다. 만난다면 최솟값은 그냥 0이라 문제가 성립하지 않으니까요. 두 식을 연립해 얻은 이차방정식의 판별식이 3<a<7에서 어떤 부호인지 따져보세요. 여기서 3<a<7의 첫 번째 역할이 드러납니다.
만나지 않는다는 것이 확인되면 그림은 0266과 똑같아집니다. 직선 y=2x−12a를 평행이동시켜 포물선에 처음 닿는 순간의 접점이 P이고, f(a)는 원래 직선과 접선 사이의 거리입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
기울기가 2이고 포물선에 접하는 직선을 y=2x+b로 두고 연립한 뒤 판별식을 0으로 놓아 b를 a로 표현하세요. 그다음 두 평행선 사이의 거리를 계산하면 f(a)가 |a에 대한 이차식| ÷ √5 꼴로 정리됩니다.
여기서 절댓값 안의 이차식을 인수분해해 보면 (a−3)(a−7) 형태가 보일 것입니다. 3<a<7에서 이 값의 부호가 정해지므로 절댓값을 안심하고 벗길 수 있고, 남은 것은 이차식의 최댓값을 완전제곱으로 잡는 익숙한 작업뿐입니다. 마지막에 분모 √5의 유리화까지 마무리하세요.
정답 확인
정답 ① f(a)의 최댓값 = 4√55 (a=5일 때)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 그래프가 만나지 않음을 확인
y=x²−2ax−20과 y=2x−12a를 연립하면 x²−2(a+1)x−20+12a=0입니다. 이 방정식의 판별식을 D₁이라 하면
D₁4 = (a+1)² − (−20+12a) = a² − 10a + 21 = (a−3)(a−7)
3<a<7에서 (a−3)>0, (a−7)<0이므로 D₁/4<0, 즉 두 그래프는 만나지 않습니다. 따라서 직선 y=2x−12a를 평행이동해 포물선과 처음 만나는 접점이 f(a)를 최소로 만드는 점 P입니다.
STEP B기울기 2인 접선의 방정식 구하기
접선을 y=2x+b라 하고 연립하면 x²−2(a+1)x−20−b=0이고, 중근을 가지므로 판별식 D₂=0에서
D₂4 = (a+1)² − (−20−b) = a²+2a+b+21 = 0 → b = −a²−2a−21
즉 점 P를 지나는 접선은 y = 2x − a² − 2a − 21입니다.
STEP Cf(a)를 구하고 최댓값 잡기
f(a)는 평행한 두 직선 y=2x−12a와 y=2x−a²−2a−21 사이의 거리입니다. 직선 y=2x−12a 위의 점 (6a, 0)에서 2x−y−a²−2a−21=0까지의 거리를 재면
f(a) = |2×6a − 0 − a² − 2a − 21|√(2²+(−1)²) = |−a² + 10a − 21|√5
STEP A에서 3<a<7일 때 a²−10a+21<0, 즉 −a²+10a−21>0이므로 절댓값을 그대로 벗길 수 있습니다. 완전제곱 꼴로 고치면
−a²+10a−21 = −(a−5)² + 4
이므로 3<a<7 안에 있는 a=5에서 최댓값 4를 가집니다. 따라서
f(5) = 4√5 = 4√55
1등급 다른 풀이 · 판별식 한 번으로 STEP B 건너뛰기
STEP A의 판별식 a²−10a+21과 STEP C의 분자 −a²+10a−21이 부호만 다른 같은 식이라는 점, 눈치채셨나요? 우연이 아니라 구조적인 필연입니다. 이 사실을 알면 접선을 구하는 STEP B를 통째로 생략할 수 있습니다.
포물선 위의 점을 (t, t²−2at−20)으로 두고 직선 2x−y−12a=0까지의 거리를 그대로 계산해 보세요.
거리 = |2t − (t²−2at−20) − 12a|√5 = |t² − 2(a+1)t + (12a−20)|√5
절댓값 안은 t에 대한 이차식이고, 그 최솟값은 −(판별식/4)이므로 정확히 −(a²−10a+21)입니다. 즉 STEP A에서 이미 계산해 둔 그 값이 그대로 최솟값의 분자로 재활용됩니다. f(a)=(−a²+10a−21)/√5가 한 줄 만에 나오는 셈이죠.
정리하면, “곡선 위 점과 직선 사이의 최단거리 = |두 식을 연립한 이차식의 판별식/4| ÷ √(a²+b²)”라는 공식이 이차함수와 직선의 조합에서 항상 성립합니다. 이 관점을 가지면 0266과 0267은 완전히 같은 문제가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 3<a<7은 세 번 쓰입니다. ① 두 그래프가 만나지 않음(D₁<0) ② 절댓값을 벗길 때의 부호 결정 ③ 최댓점 a=5가 범위 안에 있는지 확인. 셋 중 하나라도 빠뜨리면 논리가 끊깁니다. 특히 ③은 만약 조건이 6<a<7이었다면 답이 완전히 달라졌을 지점입니다.
- “최솟값의 최댓값”이라는 이중 구조에서 순서를 뒤집지 마세요. 먼저 a를 고정한 채 점 P를 움직여 최소를 구하고(f(a) 완성), 그 뒤에 a를 움직여 최대를 구합니다.
- STEP B의 b를 구할 때 부호 실수가 가장 잦습니다. x²−2(a+1)x−20−b=0에서 상수항은 (−20−b)이므로 D₂/4=(a+1)²−(−20−b)=(a+1)²+20+b입니다. 여기서 부호 하나만 어긋나도 b=−a²−2a−21이 나오지 않습니다.
- 직선 y=2x−12a 위의 점을 잡을 때는 (6a, 0)처럼 계산이 편한 점을 고르세요. y절편 (0, −12a)를 써도 되지만 분자 전개가 길어집니다.
- a²−10a+21은 반드시 (a−3)(a−7)로 인수분해해 두세요. 주어진 범위 3<a<7이 정확히 두 근 사이라는 사실이 한눈에 보이고, 부호 판정이 즉시 끝납니다. 출제자가 범위를 그렇게 준 이유가 여기에 있습니다.
- 4/√5는 반드시 유리화해서 4√5/5로 답하세요. 선택지가 모두 √5/5 꼴로 통일되어 있으므로 유리화하지 않으면 답을 고를 수 없습니다.