최다빈출 왕중요
TOUGH
곡선과 직선 사이의 거리
평행한 두 직선 사이의 거리
접선과 판별식
출제의도
곡선 위의 점은 무수히 많습니다. 그 무수히 많은 점 하나하나에서 직선까지의 거리를 재서 가장 작은 값을 찾으라는 것이 이 문항의 요구입니다. 이걸 곧이곧대로 하면 끝이 없으므로, “직선을 평행이동시켜 곡선에 처음 닿는 순간”이라는 그림으로 바꿔 읽어야 합니다. 그 순간의 접점이 바로 최단거리를 만드는 점이고, 문제는 그 자리에서 평행한 두 직선 사이의 거리 문제로 완전히 성격이 바뀝니다.
왕중요 태그가 붙은 이유는 이 전환이 고등수학 전반에서 반복되기 때문입니다. 접선을 잡는 도구는 판별식 D=0 하나뿐이고, 거리를 재는 도구는 평행선 사이 거리 공식 하나뿐입니다. 두 도구를 순서대로 꺼내는 훈련이 이 문항의 본체이며, 마지막에 절댓값을 벗기면서 그림이 지정한 부호를 고르는 판단이 남습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
주어진 직선 y=4x+k를 아래로 천천히 평행이동시킨다고 상상해 보세요. 어느 순간 포물선 y=−x²+5에 딱 한 점에서 닿습니다. 그림에서 √17로 표시된 수선이 가리키는 점이 바로 그 접점이고, 최단거리는 원래 직선과 이 접선 사이의 거리입니다.
그러니 순서는 이렇습니다. ① 기울기가 4이면서 포물선에 접하는 직선 y=4x+n을 먼저 구한다. ② 그다음 y=4x+n과 y=4x+k 사이의 거리를 √17로 놓는다. 문제에서 √17이 등장한 것은 √(4²+(−1)²)=√17과 무관하지 않다는 점도 눈여겨보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
y=−x²+5와 y=4x+n을 연립하면 x²+4x+n−5=0이 나옵니다. 접한다는 것은 이 이차방정식이 중근을 가진다는 뜻이므로 판별식을 0으로 놓아 n을 결정하세요.
접선을 구했다면 두 직선을 4x−y+9=0, 4x−y+k=0 꼴로 계수를 맞춰 정렬한 뒤 평행선 사이 거리 공식을 쓰거나, 한 직선 위의 편한 점(예: (0, 9))을 잡아 다른 직선까지의 거리를 재면 됩니다. 절댓값을 풀면 k 값이 두 개 나오는데, 그림에서 y=4x+k가 접선보다 위쪽에 있다는 사실이 둘 중 하나를 골라줍니다.
정답 확인
정답 ③ k = 26
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거리가 최소가 되는 상황 파악하기
곡선 y=−x²+5 위의 점과 직선 y=4x+k 사이의 거리가 최소가 되는 것은, 기울기가 4인 직선이 곡선에 접할 때 그 접선과 주어진 직선 사이의 거리입니다. 접점보다 조금이라도 벗어난 점은 반드시 더 멀어지기 때문입니다.
STEP B기울기 4인 접선 구하기
접선을 y=4x+n (단, n<k)이라 하고 y=−x²+5와 연립하면 −x²+5=4x+n, 즉 x²+4x+n−5=0입니다. 중근을 가져야 하므로 판별식 D=0에서
D4 = 4 − (n−5) = 0 → 9 − n = 0 → n = 9
따라서 곡선에 접하는 직선의 방정식은 y=4x+9입니다.
STEP C평행한 두 직선 사이의 거리로 k 구하기
두 직선을 4x−y+9=0, 4x−y+k=0으로 정렬합니다. 앞 직선 위의 점 (0, 9)에서 뒤 직선까지의 거리가 √17이므로
|4×0 − 9 + k|√(4²+(−1)²) = √17 → |k−9|√17 = √17 → |k−9| = 17
즉 k−9=±17이므로 k=26 또는 k=−8입니다. 그런데 그림에서 직선 y=4x+k는 접선 y=4x+9보다 위쪽에 있으므로 k>9, 따라서 k=26입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선 없이 완전제곱만으로
판별식도 접선도 꺼내지 않고, 거리 자체를 하나의 이차식으로 만들어 버리는 방법이 있습니다. 곡선 위의 점을 그냥 (t, −t²+5)로 두는 것이 출발점입니다.
이 점과 직선 4x−y+k=0 사이의 거리는 |4t−(−t²+5)+k|÷√17 = |t²+4t−5+k|÷√17입니다. 절댓값 안을 완전제곱 꼴로 고치면 t²+4t−5+k=(t+2)²+k−9가 되죠. 그림에서 직선이 곡선과 만나지 않으므로 이 값은 항상 양수이고, 결국 거리는 t=−2일 때 최소가 됩니다.
그 최솟값이 (k−9)÷√17이므로 (k−9)/√17=√17에서 k−9=17, 곧 k=26이 한 번에 나옵니다. 접선을 구하는 STEP B가 통째로 사라지고, 덤으로 접점의 x좌표가 −2라는 정보까지 공짜로 얻습니다. 곡선이 이차함수일 때는 이 ‘완전제곱 직행’ 경로가 거의 항상 더 짧습니다.
실수를 줄이는 전략
- √17이라는 값이 √(4²+(−1)²)과 같다는 것을 먼저 알아채면 계산이 눈에 띄게 깔끔해집니다. 문제에 등장한 무리수가 직선의 계수와 관련 있는지 항상 한 번 확인하세요.
- 절댓값을 벗길 때 나온 k=−8은 그림과 맞지 않는 값입니다. 직선이 포물선 아래쪽을 지나는 경우로, 거리 √17은 만족하지만 제시된 그림의 배치가 아닙니다. 그림이 주어진 문제에서 그림은 장식이 아니라 조건입니다.
- 접선을 y=4x+n으로 둘 때 n<k라는 단서를 미리 적어두세요. 마지막에 두 값 중 하나를 고르는 근거가 바로 이 한 줄입니다.
- 평행선 사이 거리 공식 |c₁−c₂|÷√(a²+b²)은 두 직선의 x, y 계수를 완전히 일치시킨 뒤에만 쓸 수 있습니다. 한쪽이 y=4x+9, 다른 쪽이 4x−y+k=0인 상태로 대입하면 그대로 틀립니다.
- “곡선 위 점과 직선 사이의 최소 거리 = 평행한 접선까지의 거리”는 곡선과 직선이 만나지 않을 때만 성립합니다. 만나면 최솟값은 그냥 0입니다. 조건이 없는 문항에서는 먼저 판별식으로 만나는지부터 확인하세요.