TOUGH
점과 직선 사이의 거리
자취의 방정식
평행한 두 직선
출제의도
이 문항은 넓이 조건을 거리 조건으로 바꾸는 번역 훈련입니다. 두 점 A, B가 고정되어 있으니 삼각형 ABP에서 밑변 AB의 길이도 고정입니다. 넓이가 15로 정해졌다면 남은 변수는 높이 하나뿐이고, 그 높이는 곧 점 P와 직선 AB 사이의 거리입니다. 즉 ‘넓이가 15’는 ‘직선 AB로부터 거리가 일정’과 같은 말입니다.
진짜 함정은 그다음입니다. 어떤 직선으로부터 거리가 일정한 점들의 자취는 그 직선에 평행한 두 개의 직선입니다. 직선의 위쪽과 아래쪽에 하나씩 생기죠. [보기]에서 두 개를 고르라고 되어 있는 것 자체가 그 사실을 확인하는 장치입니다. 한 개만 구하고 만족하면 답을 고를 수 없고, 평행 조건을 잘못 세우면 애초에 후보를 만들지 못합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형 ABP에서 밑변을 AB로 잡으면 높이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리 h가 됩니다. 먼저 두 점 사이의 거리로 AB의 길이부터 구하세요. 그러면 넓이 공식 12×AB×h=15에서 h가 곧바로 결정됩니다.
h가 하나의 값으로 정해졌다는 것은 점 P가 ‘직선 AB에서 일정한 거리를 유지하는 점’이라는 뜻입니다. 그런 점들이 그리는 도형이 무엇인지 그림으로 먼저 떠올려 보세요. 직선 AB의 양쪽을 모두 살펴야 합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
점 P의 자취는 직선 AB에 평행한 직선입니다. 직선 AB의 방정식을 4x−3y+10=0으로 구했다면, 평행한 직선은 x와 y의 계수를 그대로 두고 상수항만 바꾼 4x−3y+n=0 꼴입니다. (자기 자신은 제외해야 하므로 n≠10입니다.)
이제 이 직선과 직선 AB 사이의 거리가 h가 되도록 n을 정하면 됩니다. 직선 위의 아무 점이나 하나 잡아 대입하면 되는데, A(−1, 2)가 가장 간편합니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면 n에 대한 절댓값 방정식이 나오고, 절댓값이 벗겨지며 n이 두 개 나옵니다. 그 두 값이 곧 [보기]의 정답 두 개입니다.
정답 확인
정답 ③ ㄱ, ㄹ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이 조건에서 높이 h 뽑아내기
A(−1, 2), B(2, 6)이므로 AB = √{(2−(−1))²+(6−2)²} = √(9+16) = 5입니다. 점 P와 직선 AB 사이의 거리를 h라 하면 이것이 삼각형 ABP의 높이이므로
12×5×h = 52h = 15 ∴ h=6
따라서 점 P의 자취는 직선 AB와 평행하고 직선 AB와의 거리가 6인 직선입니다.
STEP B직선 AB의 방정식 구하기
기울기는 (6−2)/(2−(−1)) = 43이므로 y−6 = 43(x−2), 정리하면 4x−3y+10=0입니다.
STEP C평행한 직선의 상수항 결정하기
자취의 방정식을 4x−3y+n=0 (n≠10)이라 하면, 이 직선과 점 A(−1, 2) 사이의 거리가 6이어야 하므로
|4×(−1)−3×2+n| / √(4²+(−3)²) = |n−10| / 5 = 6
|n−10|=30이므로 n−10=±30, 즉 n=−20 또는 n=40입니다.
n=−20 — 4x−3y−20=0 → [보기] ㄱ
n=40 — 4x−3y+40=0 → [보기] ㄹ
따라서 점 P의 자취의 방정식은 ㄱ과 ㄹ이고 답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 상수항만 보고 끝내기
평행한 두 직선 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 사이의 거리는 |c₁−c₂| / √(a²+b²)입니다. 이 공식을 알고 있으면 점을 대입하는 과정 자체가 사라집니다.
직선 AB가 4x−3y+10=0이고 자취를 4x−3y+n=0이라 하면 두 직선 사이의 거리는 |n−10| / 5입니다. 이것이 6이므로 |n−10|=30, 곧 n=10±30에서 n=40 또는 n=−20이 한 줄에 나옵니다.
또 하나, [보기]를 계산 없이 걸러내는 눈도 유용합니다. ㄴ과 ㄷ은 3x+4y 꼴인데, 이는 4x−3y와 계수의 내적이 3×4+4×(−3)=0이므로 직선 AB에 수직인 직선입니다. 자취는 반드시 AB와 평행해야 하므로 ㄴ, ㄷ은 방정식을 세우기도 전에 탈락입니다. 남은 것은 ㄱ, ㄹ뿐이니 선택지에서 ③이 바로 확정됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리가 일정한 점의 자취는 직선 양쪽에 하나씩, 총 두 개입니다. 절댓값을 벗길 때 ± 두 경우를 반드시 챙기세요. 한쪽만 구하면 [보기] 두 개를 고를 수 없습니다.
- 평행한 직선을 세울 때는 x, y의 계수를 그대로 복사하고 상수항만 미지수로 두세요. 기울기 형태 y=43x+k로 두면 거리 공식에 넣기 위해 다시 정리해야 해서 실수가 늘어납니다.
- n≠10 조건을 잊지 마세요. 자취는 직선 AB 자신이 될 수 없습니다. 점 P가 직선 AB 위에 있으면 삼각형이 만들어지지 않는다는 문제의 단서와 정확히 대응합니다.
- AB의 길이를 5로 정확히 구하는 것이 출발점입니다. 여기서 √25=5를 잘못 계산하면 h가 어긋나 이후 모든 값이 틀립니다. 3, 4, 5 직각삼각형 꼴을 눈으로 확인하는 습관이 도움이 됩니다.
- 거리 공식의 분모는 √(a²+b²)이지 a²+b²이 아닙니다. √(4²+(−3)²)=5를 정확히 처리해야 |n−10|=30이 나옵니다. 분모를 빠뜨리면 n의 값이 엉뚱하게 커집니다.
엄선된 풀이 영상
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