마플시너지 0191 - 답지나라

0191
TOUGH
최다빈출 · 왕중요

Ⅰ-02 직선의 방정식
절편 형태의 직선
사분면 판정
이차함수의 최댓값

출제의도

이 문항의 승부처는 계산이 아니라 맨 앞의 한 줄입니다. ‘제3사분면을 지나지 않는다’는 조건에서 a>0, b>0을 끌어내지 못하면 그 뒤의 모든 계산이 의미를 잃습니다. 절편 형태 xa+yb=1에서 a는 x절편, b는 y절편이라는 사실과, 절편의 부호가 직선이 지나는 사분면을 결정한다는 감각을 동시에 묻는 것이죠.

그 관문을 통과하면 문제는 합이 일정할 때 곱의 최댓값이라는 고전적인 구조로 바뀝니다. a+b=4√2로 묶여 있고 넓이는 12ab이니, b를 a로 바꿔 이차함수의 최댓값 문제로 내려앉습니다. 최다빈출·왕중요 태그가 붙은 이유가 여기 있습니다. 이 구조는 원의 방정식, 부등식, 도형 단원에서 형태만 바꿔 계속 재등장합니다.

단계별 힌트

힌트는 한 번에 다 열지 말고, 한 단계씩만 확인한 뒤 직접 풀어보는 것을 추천합니다.

힌트 1단계 · 발상과 연결고리

먼저 A와 B의 좌표를 확정하세요. 직선 xa+yb=1의 x절편이 a, y절편이 b이므로 A(a, 0), B(0, b)입니다.

이제 ‘제3사분면을 지나지 않는다’가 a, b의 부호를 어떻게 제한하는지 따져보세요. a와 b의 부호 조합은 네 가지뿐이니, 각 경우에 직선을 대충 그려보면서 왼쪽 아래 영역을 침범하는지 확인하면 됩니다. 부호가 정해지면 OA=|a|, OB=|b|의 절댓값이 벗겨지면서 OA+OB=4√2가 a와 b의 단순한 합으로 바뀝니다.

힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)

삼각형 OAB는 직각을 낀 두 변이 OA, OB인 직각삼각형이므로 넓이는 12×OA×OB=12ab입니다. 여기에 a+b=4√2를 이용해 b를 a로 치환하면 미지수가 하나뿐인 식이 됩니다.

그 결과는 a에 대한 위로 볼록한 이차함수가 됩니다. 완전제곱 꼴로 고쳐 꼭짓점을 찾으면 최댓값이 나옵니다. 이때 a의 범위가 0<a<4√2로 제한된다는 점을 꼭 확인하세요. 꼭짓점의 a값이 이 범위 안에 들어와야 그 최댓값이 실제로 성립합니다.

정답 확인

정답 ② 최댓값 4

상세 해설

마플시너지 공통수학2 0191번 상세 해설 1
마플시너지 공통수학2 0191번 상세 해설 2

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A조건을 이용하여 a, b의 범위 구하기

직선 xa+yb=1의 x절편과 y절편은 각각 a, b입니다. 제3사분면을 지나지 않으려면 a>0, b>0이어야 합니다.

따라서 OA=a, OB=b이므로 OA+OB=4√2에서 a+b=4√2, 즉 b=4√2−a입니다. a>0이고 b>0이므로 a의 범위는 0<a<4√2로 정해집니다.

STEP B넓이를 a에 대한 이차함수로 표현하기

삼각형 OAB의 넓이는 12×OA×OB=12ab입니다. b=4√2−a를 대입하면

12a(4√2−a) = −12a²+2√2a = −12(a−2√2)²+4

STEP C최댓값 확정하기

이 이차함수는 a²의 계수가 음수이므로 위로 볼록하고, 꼭짓점의 a좌표는 2√2입니다. 이 값은 0<a<4√2 범위 안에 있으므로 최댓값이 실제로 실현됩니다.

따라서 a=2√2일 때(이때 b=4√2−2√2=2√2로 a=b) 삼각형 OAB의 넓이는 최댓값 4를 갖습니다.

1등급 다른 풀이 · 산술평균과 기하평균

넓이가 12ab이고 a+b가 고정값이라는 것은, ‘합이 일정할 때 곱의 최댓값’을 묻는 전형적인 상황입니다. 이 구조는 산술·기하평균 부등식이 그대로 겨냥하는 형태입니다.

a>0, b>0이므로 a+b2 ≥ √(ab)가 성립합니다(등호는 a=b일 때). a+b=4√2를 대입하면 4√22 ≥ √(ab), 즉 2√2 ≥ √(ab)이고 양변을 제곱하면 ab ≤ 8입니다.

따라서 넓이는 12ab ≤ 12×8 = 4로 최댓값 4입니다. 완전제곱을 만드는 과정 없이 두 줄로 끝나고, 등호 조건 a=b가 곧바로 ‘언제 최대가 되는가’까지 알려준다는 점이 이 풀이의 강점입니다. 다만 a>0, b>0이라는 양수 조건이 확보되지 않으면 이 부등식은 쓸 수 없으므로, STEP A는 어느 풀이를 택하든 반드시 거쳐야 합니다.

실수를 줄이는 전략

‘제3사분면을 지나지 않는다’를 그냥 넘기지 마세요. 이 한 줄이 없으면 a, b의 부호를 정할 수 없고, OA+OB의 절댓값을 벗길 수도, 산술·기하평균을 쓸 수도 없습니다. 모든 길이 이 조건 위에 서 있습니다.
OA, OB는 길이라서 |a|, |b|입니다. a>0, b>0을 먼저 확정한 뒤에야 OA+OB=a+b라고 쓸 수 있다는 순서를 지키세요.
넓이 식에서 12을 빠뜨리는 실수가 잦습니다. ab의 최댓값 8과 넓이의 최댓값 4는 다른 값이며, 선택지에는 둘 다 놓여 있지 않으니 방심하기 쉽습니다.
이차함수의 최댓값을 구했다면 그 꼭짓점이 정의역 안에 있는지 확인하세요. 이 문제에서는 2√2가 0과 4√2 사이라 문제없지만, 범위 밖이면 끝점에서 최댓값을 찾아야 합니다.
√2 계산에서 (2√2)²=8임을 헷갈리지 마세요. 4√2를 반으로 나눈 2√2를 제곱하면 4×2=8입니다.

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