TOUGH
등적변형
평행과 기울기
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 등적변형을 정면으로 묻습니다. 두 삼각형 OAB와 OAC는 OA를 공통의 밑변으로 씁니다. 밑변이 같은데 넓이가 같다면 남은 것은 높이뿐이고, 높이가 같다는 말은 두 꼭짓점 B와 C가 밑변 OA로부터 같은 거리에 있다는 뜻입니다. 곧 직선 BC가 직선 OA와 평행해야 한다는 결론이 나옵니다.
TOUGH 딱지가 붙은 이유는 이 한 번의 번역에 있습니다. ‘넓이가 같다’를 곧이곧대로 받아 신발끈 공식이나 밑변×높이로 두 넓이를 각각 계산하려 들면 좌표가 (9,3), (8,10)처럼 지저분해 계산이 길어집니다. 반면 평행으로 번역하면 기울기 하나만 맞추면 끝나 계산이 세 줄로 줄어듭니다. 조건을 도형 언어로 바꿔 읽는 훈련이 되어 있는지가 시간 차이를 만듭니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 삼각형 OAB와 OAC를 나란히 놓고 어느 변이 공통인지 찾아보세요. O와 A가 두 삼각형에 모두 들어 있으니 선분 OA가 공통 밑변입니다.
밑변이 같은 두 삼각형의 넓이가 같으려면 높이가 같아야 합니다. 높이란 나머지 꼭짓점에서 밑변까지의 거리이므로, B와 C가 직선 OA에서 같은 거리에 있다는 뜻이 됩니다. 이것을 직선의 언어로 바꾸면 무엇이 될까요? C의 y좌표가 양수라는 단서가 왜 붙어 있는지도 함께 생각해보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
C는 y축 위의 점이므로 C(0, k)(k>0)로 두세요. 그러면 구하는 선분 OC의 길이가 곧 k입니다.
직선 OA의 기울기를 먼저 구하고, 직선 BC의 기울기가 그와 같아야 한다는 식을 세우세요. B(8, 10)과 C(0, k)를 잇는 기울기를 k로 표현한 뒤 등식을 풀면 k가 한 번에 나옵니다. 직선 BC를 y=(기울기)x+k 꼴로 두고 B를 대입하는 방법도 같은 결과를 줍니다. k가 y절편이라는 점이 계산을 짧게 만듭니다.
정답 확인
정답 ② OC = 223
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이 조건을 평행 조건으로 번역하기
y축 위를 움직이는 점 C의 좌표를 C(0, k)(k>0)라 합니다. 두 삼각형 OAB와 OAC의 밑변은 OA로 공통이므로, 두 삼각형의 넓이가 같으려면 높이가 같아야 합니다.
즉 두 점 B와 C가 직선 OA로부터 같은 거리에 있어야 하고, 이는 직선 OA와 직선 BC가 평행하다는 것과 같습니다.
STEP B기울기를 맞춰 k 구하기
직선 OA의 기울기는 3−09−0 = 13입니다. 따라서 직선 BC의 기울기도 13이어야 합니다.
B(8, 10), C(0, k)이므로 k−100−8 = 13입니다. 양변을 정리하면 3(k−10)=−8, 즉 3k=22이므로 k=223입니다.
STEP C선분 OC의 길이 확정하기
C의 좌표는 (0, 223)이고, 223 > 0이므로 ‘y좌표가 양수’라는 조건을 만족합니다.
O가 원점이고 C가 y축 위의 점이므로 선분 OC의 길이는 C의 y좌표 그 자체입니다. 따라서 OC = 223입니다.
1등급 다른 풀이 · 넓이를 직접 계산해 비교하기
평행이 잘 안 보인다면 두 넓이를 그냥 계산해서 같다고 놓아도 됩니다. 원점을 한 꼭짓점으로 갖는 삼각형은 넓이 공식이 매우 간단하다는 점을 이용합니다.
세 점 O(0, 0), P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂)로 이루어진 삼각형의 넓이는 12|x₁y₂−x₂y₁|입니다. 이 공식을 두 삼각형에 적용해봅시다.
삼각형 OAB — A(9, 3), B(8, 10)이므로 넓이는 12|9×10−8×3| = 12|90−24| = 33
삼각형 OAC — A(9, 3), C(0, k)이므로 넓이는 12|9×k−0×3| = 92k (k>0)
두 넓이가 같으므로 92k=33에서 k=669=223이 됩니다. 같은 답이지만, 이 풀이는 k>0 조건이 절댓값을 벗기는 데 쓰인다는 점을 눈으로 확인시켜 준다는 장점이 있습니다. 만약 k<0까지 허용했다면 k=−223도 답이 되어 값이 두 개가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이가 같다는 조건을 만나면 공통 밑변부터 찾으세요. 두 삼각형의 이름에 같은 두 문자가 들어 있다면(OAB와 OAC) 그 변이 공통 밑변이고, 곧바로 등적변형으로 넘어갈 수 있습니다.
- ‘높이가 같다’를 ‘평행하다’로 옮기는 것이 이 문제의 전부입니다. 반대로 평행선 사이에서는 어디에 꼭짓점을 놓아도 넓이가 같다는 사실도 함께 기억해두면 활용 범위가 넓어집니다.
- C(0, k)로 두는 순간 k가 곧 OC의 길이가 됩니다. 좌표를 구한 뒤 거리 공식을 다시 쓰느라 시간을 낭비하지 마세요. 단, 이는 C가 y축 위에 있고 k>0일 때만 성립합니다.
- 기울기 식 k−100−8에서 분모가 −8이라는 점을 놓치기 쉽습니다. 부호 하나로 k가 383 쪽으로 튀어 선택지 밖으로 나갑니다.
- ‘점 C의 y좌표는 양수이다’라는 단서는 장식이 아닙니다. 이 조건이 없으면 직선 OA를 기준으로 반대쪽에도 조건을 만족하는 점이 하나 더 생겨 답이 둘이 됩니다. 단서가 왜 붙었는지 매번 확인하는 습관이 서술형에서 특히 중요합니다.