TOUGH
수직이등분선
삼각형의 외심
두 직선의 수직 조건
출제의도
이 문항은 ‘세 변의 수직이등분선의 교점’이라는 표현을 외심으로 알아보는가를 묻습니다. 수직이등분선을 세 개 다 구하려고 덤비면 계산이 세 배로 늘어나지만, 세 수직이등분선이 반드시 한 점에서 만난다는 사실을 알면 두 개만 구해 연립하면 끝납니다. 문제를 읽자마자 계산량을 3분의 2로 줄일 수 있느냐가 첫 갈림길입니다.
TOUGH로 분류된 이유는 개념이 어려워서가 아니라 정확도를 세 번 연속 요구하기 때문입니다. 중점 구하기 → 기울기 구하기 → 수직인 기울기로 뒤집기 → 직선의 방정식 세우기까지가 한 변당 한 세트이고, 이걸 두 번 반복한 뒤 연립까지 해야 합니다. 음수 좌표가 섞여 있어 부호 실수가 나기 쉬운 지점도 곳곳에 깔려 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형의 세 변의 수직이등분선은 항상 한 점에서 만납니다. 그 점이 바로 외심이고, 문제에서 구하라는 (a, b)가 그것입니다. 세 점에서 같은 거리에 있는 점이라는 뜻이죠.
따라서 세 변을 다 다룰 필요가 없습니다. 세 변 중 두 변만 골라 각각의 수직이등분선을 구한 뒤 연립하면 교점이 나옵니다. 어느 두 변을 고를지는 자유이니, 중점과 기울기가 정수로 깔끔하게 떨어지는 조합을 먼저 살펴보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
수직이등분선 하나를 만드는 절차는 고정되어 있습니다. ① 두 점의 중점을 구한다 → ② 두 점을 잇는 직선의 기울기 m을 구한다 → ③ 수직 조건으로 기울기를 −1/m로 바꾼다 → ④ 중점을 지나고 그 기울기를 갖는 직선을 쓴다. 이 네 단계를 두 변에 대해 반복하세요.
변 AC를 쓰면 중점이 (0, −1)로, 변 BC를 쓰면 중점이 (4, −3)으로 나옵니다. 기울기도 각각 −2와 1이라 수직 기울기가 12과 −1로 다루기 편합니다. 두 직선을 일반형(=0 꼴)으로 정리해두면 연립할 때 분수 실수가 줄어듭니다.
정답 확인
정답 a+b = 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A선분 AC의 수직이등분선 구하기
A(−2, 3), C(2, −5)의 중점은 −2+22, 3+(−5)2 즉 (0, −1)입니다.
직선 AC의 기울기는 −5−32−(−2) = −2이므로, 이에 수직인 직선의 기울기는 12입니다. 점 (0, −1)을 지나므로 y−(−1)=12(x−0), 즉 x−2y−2=0입니다.
STEP B선분 BC의 수직이등분선 구하기
B(6, −1), C(2, −5)의 중점은 (4, −3)입니다. 직선 BC의 기울기는 −5−(−1)2−6 = 1이므로 수직인 직선의 기울기는 −1입니다.
점 (4, −3)을 지나고 기울기가 −1인 직선은 y−(−3)=−(x−4), 즉 x+y−1=0입니다.
STEP C두 직선을 연립하여 a+b 구하기
x−2y−2=0과 x+y−1=0을 연립합니다. 두 식을 빼면 −3y−1=0이므로 y=−13, 이를 대입하면 x=43입니다.
따라서 a=43, b=−13이므로 a+b = 43 + (−13) = 1입니다.
1등급 다른 풀이 · 거리 조건으로 한 번에 잡기
외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점입니다. 구하는 점을 P(a, b)라 하면 AP = BP = CP가 성립하므로, 수직이등분선을 그리지 않고 거리식만으로 곧장 연립방정식을 만들 수 있습니다.
AP²=a²+4a+b²−6b+13, BP²=a²−12a+b²+2b+37, CP²=a²−4a+b²+10b+29입니다. 세 식 모두 a²과 b²을 공통으로 가지므로, 두 식을 같다고 놓는 순간 이차항이 통째로 소거되어 일차방정식으로 내려갑니다.
AP²=BP²에서 16a−8b=24, 즉 2a−b=3이 나오고, BP²=CP²에서 8a+8b=8, 즉 a+b=1이 나옵니다. 여기서 재미있는 점은 두 번째 식이 곧바로 구하는 값 그 자체라는 것입니다. 이 접근을 택하면 a와 b를 따로 구하지 않고도 답을 확정할 수 있어, 시험장에서는 이쪽이 훨씬 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 수직이등분선은 세 개를 다 구하지 않습니다. 세 직선이 한 점에서 만나는 것이 보장되므로 두 개면 충분하고, 세 번째를 구하는 건 검산용일 뿐입니다.
- 기울기를 뒤집을 때 부호를 놓치지 마세요. 기울기 −2의 수직은 12이지 −12이 아닙니다. 두 기울기의 곱이 −1인지 항상 확인하는 습관을 들이세요.
- 음수 좌표가 들어간 중점 계산에서 실수가 가장 많이 납니다. 3+(−5)2처럼 괄호를 살려서 쓰면 부호가 눈에 보입니다.
- 직선을 y=… 꼴로 두면 분수가 그대로 남아 연립에서 계산이 지저분해집니다. ax+by+c=0 형태로 정리한 뒤 연립하세요.
- 구하는 것은 a와 b가 아니라 a+b입니다. 거리 조건 풀이처럼 a+b가 통째로 나오는 길이 있는지 먼저 살피면 계산을 절반으로 줄일 수 있습니다.