최다빈출 왕중요
TOUGH
사다리꼴
넓이 이등분
교점의 위치 판정
출제의도
이 문항은 ‘원점을 지나면서 사다리꼴의 넓이를 이등분하는 직선’을 찾는, 내신에서 가장 자주 변형되어 나오는 유형입니다. 삼각형이었다면 대변의 중점을 지나면 끝이지만 사다리꼴에는 그런 공식이 없습니다. 그래서 문제의 첫 관문은 계산이 아니라 판정입니다.
즉 원점에서 출발한 직선이 변 BC를 만나는가, 변 AB를 만나는가를 먼저 확정해야 합니다. 이 판정을 건너뛰고 곧바로 교점을 (a, 5)로 놓거나 (a, b)로 놓고 식을 세우면, 답이 나오더라도 그림 밖의 값이거나 검산이 불가능해집니다. 최다빈출로 지정된 이유는 이 ‘만나는 변 판정 → 미지수 설정 → 직선의 방정식 대입’이라는 3단 절차가 그대로 다른 도형 문제에 재사용되기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 사다리꼴 OABC의 넓이를 구해 절반이 얼마인지 적어두세요. 윗변 BC, 아랫변 OA, 높이 OC가 모두 그림에서 바로 읽힙니다.
그다음, 원점에서 그은 직선을 상상하며 대각선 OB를 기준선으로 삼아보세요. 직선이 OB일 때 아래쪽 조각(삼각형 OAB)의 넓이와 위쪽 조각(삼각형 OBC)의 넓이를 각각 구해 절반값과 비교하면, 이등분선이 OB보다 위로 눕는지 아래로 눕는지, 따라서 어느 변과 만나는지가 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
판정 결과 직선은 변 AB와 만납니다. 그 교점을 D(a, b)라 두면, 이등분된 아래쪽 조각은 삼각형 OAD입니다. 이 삼각형은 밑변이 OA(x축 위, 길이 8)이고 높이가 D의 y좌표 b이므로, 넓이 조건에서 b가 먼저 결정됩니다. a는 아직 몰라도 됩니다.
b를 구했으면 D는 변 AB 위의 점이므로, 두 점 A(8, 0), B(4, 5)를 지나는 직선의 방정식에 b를 대입해 a를 얻습니다. 마지막으로 구하는 것은 좌표가 아니라 기울기이므로 D의 y좌표를 x좌표로 나누는 마무리를 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ② m = 34
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A이등분선이 변 AB와 만나야 함을 확인
원점을 지나고 넓이를 이등분하는 직선을 y = mx (m은 상수)라 하겠습니다. 사다리꼴 OABC의 넓이는 12×(BC + OA)×OC = 12×(4+8)×5 = 30이므로, 이등분된 각 도형의 넓이는 15입니다.
기준선 OB로 비교하기 — 삼각형 OBC의 넓이는 12×OC×BC = 12×5×4 = 10, 삼각형 OAB의 넓이는 12×OA×5 = 12×8×5 = 20입니다.
위쪽 조각이 10(<15), 아래쪽 조각이 20(>15)이므로 이등분선은 OB보다 아래로 눕혀져야 하고, 따라서 변 AB와 만납니다.
STEP B변 AB와 직선 y = mx의 교점 D의 좌표 구하기
교점을 D(a, b)라 하면 아래쪽 조각은 삼각형 OAD이고 그 넓이가 15이므로 12×OA×b = 15, 즉 12×8×b = 15에서 4b = 15, b = 154입니다.
두 점 A(8, 0), B(4, 5)를 지나는 직선의 방정식은 기울기가 (5−0)/(4−8) = −54이므로 y = −54x + 10입니다.
점 D(a, 154)가 이 직선 위에 있으므로 154 = −54a + 10, 양변에 4를 곱하면 15 = −5a + 40에서 5a = 25, a = 5입니다.
STEP C이등분하는 직선의 기울기 구하기
점 D(5, 154)가 직선 y = mx 위에 있으므로 154 = 5m, 따라서 m = 34입니다.
D의 x좌표 5가 4와 8 사이에 있으므로 실제로 변 AB 위의 점이 맞고, STEP A의 판정과도 일치합니다. 답은 ②입니다.
다른 풀이 · m 하나만 미지수로 두고 끝내기
교점의 좌표 a, b를 따로 구하지 않고, 처음부터 m 하나만 미지수로 두면 방정식 한 개로 정리됩니다.
직선 y = mx와 직선 AB : y = −54x + 10의 교점에서 mx = −54x + 10이므로 x(4m+5) = 40, 즉 x = 404m+5이고 y = mx = 40m4m+5입니다.
삼각형 OAD의 넓이는 12×8×y = 4y이므로 160m4m+5 = 15가 되고, 160m = 60m + 75에서 100m = 75, 즉 m = 34입니다.
이 접근은 ‘어느 변과 만나는가’를 판정하지 않아도 식이 세워진다는 장점이 있지만, 대신 얻은 x = 5가 정말 선분 AB의 범위(4 ≤ x ≤ 8) 안에 있는지 마지막에 반드시 확인해야 합니다. 판정을 앞에서 하느냐 뒤에서 하느냐의 차이일 뿐, 판정 자체를 생략할 수는 없습니다.
실수를 줄이는 전략
- 사다리꼴에는 ‘중점을 지나면 이등분’이라는 성질이 없습니다. 삼각형의 중선 성질을 무심코 옮겨 쓰면 BC의 중점이나 AB의 중점을 지난다고 착각하게 됩니다.
- 대각선 OB를 기준선으로 삼아 위·아래 넓이를 비교하는 것이 판정의 정석입니다. 10과 20 중 절반값 15가 어느 쪽에 속하는지를 보면 만나는 변이 한 번에 결정됩니다.
- 삼각형 OAD의 높이는 D의 y좌표입니다. 밑변을 OA(x축 위)로 잡았기 때문이며, 밑변을 OD로 잡으면 높이가 복잡해집니다. 밑변을 좌표축 위에 놓는 습관을 들이세요.
- 직선 AB의 기울기는 음수입니다. (5−0)/(4−8)에서 분모의 부호를 놓치면 y = 54x − 10이 되어 a가 엉뚱하게 나옵니다.
- 마지막에 묻는 것은 교점의 좌표가 아니라 기울기입니다. a = 5까지 구하고 그대로 답으로 옮겨 적는 실수가 잦습니다. m = b ÷ a까지 계산해야 완료입니다.