TOUGH
2020년 11월 고1 학력평가 18번
넓이 삼등분
내분점
경우 분류
출제의도
이 문항은 ‘두 직선이 삼각형의 넓이를 삼등분한다’라는 한 문장을, 각 직선이 어떤 점을 지나야 하는가라는 구체적 조건으로 분해할 수 있는지를 묻습니다. 두 직선이 모두 점 P를 지난다는 조건 때문에 세 조각의 모양이 미리 정해지고, 그 결과 P의 위치 후보가 딱 두 개로 좁혀집니다.
난도의 핵심은 최댓값을 묻는다는 데 있습니다. 두 후보 중 하나만 계산하고 답을 적으면 절반의 확률로 틀립니다. 실제로 두 경우의 기울기 합은 −6과 34로 부호까지 갈리므로, 경우를 빠짐없이 세는 태도가 그대로 점수로 이어지는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조건 (가)에서 직선 l은 원점 O를 지나고, 조건 (나)에서 선분 AB 위의 점 P를 지납니다. 즉 l은 직선 OP입니다. 이 직선이 삼각형 OAB를 두 조각으로 나눌 때, 삼등분된 세 조각 중 한 조각이 통째로 한쪽에 놓이므로 l은 넓이를 1 : 2로 나눕니다.
꼭짓점 O를 공유하고 밑변이 선분 AB 위에 있으므로 넓이의 비는 곧 AP : PB입니다. 그러면 점 P가 선분 AB를 어떤 비로 내분해야 하는지, 그리고 그런 P가 몇 개 있는지를 먼저 정하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P는 선분 AB를 2 : 1 또는 1 : 2로 내분하는 점, 두 가지입니다. 각 경우마다 l의 기울기는 P의 좌표에서 바로 나옵니다(원점을 지나므로 기울기 = y좌표 ÷ x좌표).
남은 직선 m은 l이 잘라낸 넓이가 2/3인 쪽을 다시 이등분해야 합니다. 그런데 m도 P를 지나므로, 그 삼각형에서 P의 대변의 중점을 지날 수밖에 없습니다. 어느 삼각형인지에 따라 중점이 선분 OA의 중점이 되기도 하고 선분 OB의 중점이 되기도 하니, 매번 그림을 다시 그려 확인하세요. 두 경우의 기울기 합을 각각 구한 뒤 큰 쪽을 고르면 끝입니다.
정답 확인
정답 ① 기울기의 합의 최댓값 = 34
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 만족하는 점 P의 위치 찾기
직선 l은 원점 O와 선분 AB 위의 점 P를 지나므로, 삼각형 OAB를 삼각형 OAP와 삼각형 OPB로 나눕니다. 두 직선이 넓이를 삼등분하려면 l은 넓이를 1 : 2로 나누어야 하고, 두 삼각형은 높이가 같으므로 AP : PB = 1 : 2 또는 2 : 1입니다.
즉 점 P는 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 또는 1 : 2로 내분하는 점, 두 가지 경우가 있습니다.
STEP B( i ) P가 선분 AB를 2 : 1로 내분할 때
A(2, 0), B(0, 6)에 대하여 P( (2·0+1·2)/3 , (2·6+1·0)/3 ), 즉 P(23, 4)입니다. 원점과 P를 지나는 직선 l의 기울기는 4 ÷ 23 = 6입니다.
직선 m의 조건 — 이때 (삼각형 OPB의 넓이) = 13×(삼각형 OAB의 넓이)이므로, m은 남은 삼각형 OAP를 이등분해야 합니다. m은 P를 지나므로 선분 OA의 중점 M(1, 0)을 지나야 합니다.
따라서 m의 기울기는 (4−0) ÷ (23−1) = 4 ÷ (−13) = −12, 기울기의 합은 6 + (−12) = −6입니다.
STEP C( ii ) P가 선분 AB를 1 : 2로 내분할 때
P( (1·0+2·2)/3 , (1·6+2·0)/3 ), 즉 P(43, 2)입니다. 직선 l의 기울기는 2 ÷ 43 = 32입니다.
직선 m의 조건 — 이때 (삼각형 OAP의 넓이) = 13×(삼각형 OAB의 넓이)이므로, m은 삼각형 OBP를 이등분해야 하고 선분 OB의 중점 M′(0, 3)을 지나야 합니다.
따라서 m의 기울기는 (2−3) ÷ (43−0) = −34, 기울기의 합은 32 + (−34) = 34입니다.
( i ), ( ii )에서 −6과 34를 비교하면 기울기의 합의 최댓값은 34입니다.
다른 풀이 · 직선 m은 항상 ‘중선의 일부’
이 문제에서 직선 m이 무엇인지 한 문장으로 정리하면 계산이 훨씬 가벼워집니다. m은 점 P를 지나면서 어떤 삼각형의 넓이를 이등분하는데, 넓이를 이등분하면서 한 꼭짓점을 지나는 직선은 그 꼭짓점에서 그은 중선뿐입니다.
즉 m은 항상 ‘P와 어떤 변의 중점을 잇는 직선’이고, 그 변은 원점 O와 A, B 중 l이 남겨둔 쪽 꼭짓점을 잇는 변입니다. 후보는 선분 OA의 중점 M(1, 0)과 선분 OB의 중점 M′(0, 3) 둘뿐이므로, 넓이 계산은 한 번도 하지 않고 내분점 두 개와 중점 두 개, 총 네 점의 좌표만 구하면 문제가 끝납니다.
검산에도 쓸 수 있습니다. ( i )에서 M(1, 0)은 P(2/3, 4)보다 오른쪽 아래에 있으므로 m의 기울기는 절댓값이 큰 음수여야 하고, ( ii )에서 M′(0, 3)은 P(4/3, 2)보다 왼쪽 위에 있으므로 완만한 음수여야 합니다. 계산 결과 −12와 −34가 나왔다면 그림과 맞아떨어지는 셈입니다.
실수를 줄이는 전략
- P의 위치는 두 가지입니다. ‘넓이를 1 : 2로 나눈다’는 말에는 어느 쪽이 1인지가 정해져 있지 않습니다. 최댓값·최솟값을 묻는 문제라면 경우를 빠뜨린 순간 답이 바뀐다고 생각하세요.
- 내분점 공식에서 비의 순서를 조심하세요. 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점은 B에 가까운 점입니다. A(2, 0), B(0, 6)의 순서를 바꿔 넣으면 두 경우가 그대로 뒤바뀝니다.
- m이 이등분해야 하는 삼각형은 l이 잘라낸 넓이가 큰 쪽(2/3)입니다. 작은 쪽을 이등분하면 조각이 1/6, 1/6, 2/3가 되어 삼등분이 아닙니다.
- 중점을 선분 OA에서 잡을지 OB에서 잡을지는 경우마다 다릅니다. 두 경우를 같은 그림에 겹쳐 그리지 말고, 반드시 그림을 따로 두 개 그려서 확인하세요.
- 마지막에 묻는 것은 두 기울기 각각이 아니라 합이고, 그중 최댓값입니다. −6이 먼저 나왔다고 해서 크기만 보고 고르면 안 됩니다. 음수와 양수를 비교하는 것이므로 부호를 반드시 확인하세요.