TOUGH
두 직선의 위치 관계
수직 조건
경우 분류
출제의도
이 문항은 ‘세 직선으로 둘러싸인 삼각형이 직각삼각형’이라는 도형 조건을 두 직선의 수직 조건이라는 대수 조건으로 옮기는 문제입니다. 세 직선 중 계수에 미지수가 들어 있는 것은 하나뿐이고, 나머지 두 직선은 고정되어 있다는 구조를 읽어내는 것이 출발점입니다.
TOUGH로 분류된 이유는 계산이 아니라 어느 두 직선이 직각을 이루는지 스스로 정해야 한다는 점 때문입니다. 직각의 위치를 문제가 알려주지 않으므로 가능한 짝을 모두 검토해야 하고, 그 결과 답이 하나가 아니라 여러 개가 됩니다. 문제가 ‘모든 실수 a의 값의 합’을 묻는 것 자체가 “경우가 둘 이상이니 빠짐없이 세라”는 신호입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 직선 중 두 직선은 a와 무관하게 고정되어 있습니다. 2x + y − 6 = 0과 3x − y + 2 = 0의 기울기는 각각 −2와 3이므로 두 기울기의 곱은 −6이고, 따라서 이 둘은 서로 수직이 아닙니다. 즉 직각을 만들 수 있는 것은 남은 직선 x + ay + 2 = 0뿐입니다.
그렇다면 x + ay + 2 = 0이 나머지 두 직선 중 어느 하나와 수직이면 됩니다. 어느 쪽인지 문제가 정해 주지 않았으므로 두 경우를 모두 따져야 하고, 각 경우에서 나온 a를 모두 더하는 것이 최종 답입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
수직 조건은 기울기의 곱이 −1이라고 써도 되지만, 여기서는 계수로 바로 쓰는 형태가 훨씬 안전합니다. 두 직선 a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0이 수직일 조건은 a₁a₂ + b₁b₂ = 0입니다. x + ay + 2 = 0의 계수는 (1, a)이므로 각 경우에 그대로 대입하면 a에 대한 일차방정식이 나옵니다.
두 값을 얻은 뒤에는 그 a에서 실제로 삼각형이 만들어지는지 확인하세요. 두 직선이 평행하거나 세 직선이 한 점에서 만나면 삼각형이 생기지 않아 답에서 빼야 합니다. 마지막으로 문제가 요구하는 것은 a의 값이 아니라 모든 a의 값의 합이라는 점을 확인하고 마무리하세요.
정답 확인
정답 1 ( a = −2 또는 a = 3 )
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직각삼각형이 되는 조건 파악
세 직선으로 둘러싸인 삼각형이 직각삼각형이 되려면 세 직선 중 두 직선이 서로 수직이고, 나머지 한 직선이 그 두 직선과 평행하지 않아야 합니다. 이때 2x + y − 6 = 0과 3x − y + 2 = 0의 기울기는 각각 −2, 3으로 곱이 −6이므로 두 직선은 수직이 아니고, 한 점에서 만납니다. 따라서 직각을 만드는 쪽은 x + ay + 2 = 0입니다.
STEP B두 직선이 수직일 조건에서 a 구하기
( i ) x + ay + 2 = 0 ⊥ 2x + y − 6 = 0 — 1 × 2 + a × 1 = 0이므로 a = −2
( ii ) x + ay + 2 = 0 ⊥ 3x − y + 2 = 0 — 1 × 3 + a × (−1) = 0이므로 a = 3
( i ), ( ii )에 의하여 모든 실수 a의 값의 합은 (−2) + 3 = 1입니다.
STEP C삼각형이 실제로 만들어지는지 점검
a = −2일 때 직선은 x − 2y + 2 = 0(기울기 12), a = 3일 때는 x + 3y + 2 = 0(기울기 −13)입니다. 두 경우 모두 나머지 두 직선(기울기 −2, 3)과 평행하지 않고, 세 직선이 한 점에서 만나지도 않으므로 삼각형이 정상적으로 만들어집니다. 따라서 두 값 모두 답으로 유효합니다.
1등급 다른 풀이 · 기울기 대신 법선벡터로 읽기
수직 조건을 기울기의 곱으로 처리하면 x + ay + 2 = 0에서 기울기가 −1a이므로 a = 0인 경우를 따로 떼어 검토해야 합니다. a = 0이면 직선이 x = −2가 되어 기울기가 정의되지 않기 때문입니다.
반면 직선 ax + by + c = 0에 수직인 방향, 즉 계수쌍 (a, b)를 방향으로 보는 관점에서는 이 예외가 생기지 않습니다. 두 직선이 수직이라는 것은 두 계수쌍이 서로 수직이라는 뜻이므로, 조건은 언제나 a₁a₂ + b₁b₂ = 0 한 줄로 끝납니다. 이 문항에서는 (1, a)와 (2, 1), (1, a)와 (3, −1)에 각각 적용해 a = −2, a = 3을 곧바로 얻습니다.
참고로 기울기 방식으로 풀더라도 결론은 같습니다. a = 0일 때 직선은 y축에 평행한 x = −2인데, 나머지 두 직선 중 x축에 평행한 직선(기울기 0)이 없으므로 직각이 만들어지지 않아 조건을 만족하지 않습니다. 다만 이런 예외 검토를 매번 기억해야 한다는 점에서, 계수를 그대로 쓰는 방식이 실수를 줄이는 데 유리합니다.
실수를 줄이는 전략
- 직각의 위치를 마음대로 정하지 마세요. 고정된 두 직선부터 수직인지 검사하는 것이 순서입니다. 여기서는 −2 × 3 = −6 ≠ −1이므로 그 짝은 탈락하고, 미지수를 가진 직선이 두 상대와 각각 짝을 이루는 두 경우만 남습니다.
- x + ay + 2 = 0의 기울기를 −1a로 쓰는 순간 a ≠ 0이라는 조건이 따라붙습니다. a = 0을 빠뜨리면 감점 요인이 되니, 계수 곱의 합을 0으로 두는 방식을 기본으로 삼으세요.
- 세 직선이 삼각형을 이루는지 확인하는 습관을 들이세요. 두 직선이 평행하면 삼각형이 생기지 않고, 세 직선이 한 점에서 만나도 삼각형이 사라집니다. 이 문항은 두 값 모두 통과하지만, 통과하지 않는 값이 섞인 문항이 자주 출제됩니다.
- 수직 조건 a₁a₂ + b₁b₂ = 0과 평행 조건 a₁a₂ = b₁b₂를 헷갈리지 마세요. 수직은 더하기, 평행은 비례입니다.
- 묻는 값이 ‘a의 값’이 아니라 ‘모든 실수 a의 값의 합‘입니다. −2 하나만 쓰거나 3 하나만 쓰면 그대로 오답이 됩니다. 경우를 나눈 문제일수록 마지막 문장을 다시 읽고 마무리하세요.