TOUGH
2018년 11월 고1 학력평가 17번
두 직선의 교점
평행 조건
등적변형
출제의도
이 문항은 세 점의 좌표를 구하는 계산 문제처럼 보이지만, 실제로 묻는 것은 ‘넓이가 같다’는 조건을 어떻게 직선의 언어로 바꾸느냐입니다. 삼각형 ABC와 삼각형 ABD는 A와 B를 공유하므로 선분 AB를 밑변으로 두면 밑변이 완전히 같고, 넓이가 같다는 말은 곧 높이가 같다는 말이 됩니다.
높이가 같다는 것은 두 점 C와 D가 직선 AB에서 같은 거리에 있다는 뜻이고, 이는 D가 점 C를 지나면서 AB에 평행한 직선 위에 있다는 조건으로 정리됩니다. 넓이를 직접 계산하려 들면 삼각형 ABC의 넓이를 구하는 데만 상당한 시간이 걸리지만, 등적변형으로 읽으면 ‘기울기 −5, 점 (4, 6)을 지나는 직선의 x절편’이라는 한 줄 문제로 줄어듭니다. 조건을 계산으로 옮기기 전에 구조로 먼저 읽는 훈련이 되어 있는지를 확인하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 그림 위의 점부터 좌표로 확정하세요. A는 y=−x+10과 y축의 교점, B는 y=3x−6과 x축의 교점, C는 두 직선의 교점입니다. 세 점 모두 절편과 연립방정식만으로 나옵니다.
좌표를 다 구했다면 두 삼각형 ABC와 ABD를 나란히 놓고 공통으로 들어 있는 변이 무엇인지 찾아보세요. 그 변을 밑변으로 삼는 순간, ‘넓이가 같다’는 조건이 ‘무엇이 같다’는 조건으로 바뀌는지가 이 문제의 전부입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 삼각형은 밑변 AB를 공유하므로 넓이가 같으려면 직선 AB에서 점 C까지의 거리와 점 D까지의 거리가 같아야 합니다. 즉 점 D는 점 C를 지나고 직선 AB에 평행한 직선 위에 있습니다.
그러니 순서는 이렇습니다. ① 직선 AB의 기울기를 구한다 → ② 그 기울기를 그대로 쓰고 점 C를 지나는 직선의 방정식을 세운다 → ③ 이 직선이 x축과 만나는 점의 x좌표가 곧 a다. 세 번째 단계에서 y=0을 대입하는 것으로 끝나고, a>2라는 단서는 답을 고르는 검산용으로 쓰면 됩니다.
정답 확인
정답 ② a = 265
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이가 같다는 조건을 평행선으로 번역
삼각형 ABD와 삼각형 ABC는 밑변 AB를 공유합니다. 밑변이 같으므로 넓이가 같으려면 높이, 즉 직선 AB와 점 C 사이의 거리와 직선 AB와 점 D 사이의 거리가 같아야 합니다. 따라서 점 D는 점 C를 지나고 직선 AB에 평행한 직선 위에 있어야 합니다.
STEP B세 점 A, B, C의 좌표 구하기
직선 y=−x+10의 y절편이 10이므로 A(0, 10)이고, 직선 y=3x−6의 x절편이 2이므로 B(2, 0)입니다. 두 점을 지나는 직선 AB의 기울기는 (0−10)÷(2−0)=−5이므로, AB에 평행한 직선의 기울기도 −5입니다.
점 C는 두 직선의 교점이므로 −x+10=3x−6에서 x=4, y=6, 즉 C(4, 6)입니다.
STEP C한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식
점 C(4, 6)을 지나고 기울기가 −5인 직선 CD의 방정식은 y−6=−5(x−4), 즉 y=−5x+26입니다. 점 D(a, 0)이 이 직선 위의 점이므로 0=−5a+26이고, 따라서 a=265입니다. 이 값은 5.2로 a>2를 만족하므로 조건에 맞습니다.
1등급 다른 풀이 · 넓이를 직접 계산해 비교하기
등적변형이 떠오르지 않았다면 두 삼각형의 넓이를 각각 구해 방정식을 세워도 됩니다. 이때 삼각형 ABC는 세 변이 모두 기울어져 있으므로, 세로선으로 잘라 두 조각으로 나누는 방법이 계산이 가장 짧습니다.
점 B에서 x축에 수직인 직선 x=2가 직선 y=−x+10과 만나는 점을 M이라 하면 M(2, 8)이므로 선분 BM의 길이는 8입니다. 삼각형 ABM과 삼각형 CBM은 밑변 BM을 공유하고 두 높이의 합이 점 A와 점 C의 x좌표 차인 4−0=4이므로, 삼각형 ABC의 넓이는 ½×8×4=16이 됩니다.
한편 삼각형 ABD는 밑변을 x축 위의 선분 BD로 잡으면 높이가 곧 OA=10이므로 넓이는 ½×(a−2)×10=5(a−2)입니다. 두 넓이가 같으므로 5(a−2)=16, 즉 BD=165이고 a=2+165=265로 같은 답이 나옵니다.
점 C에서 x축에 내린 수선의 발 H(4, 0)을 잡아 사다리꼴 AOHC에서 삼각형 AOB와 삼각형 CBH를 빼는 방식으로도 삼각형 ABC의 넓이 16을 얻을 수 있습니다. 어느 쪽이든 x축·y축에 평행한 선으로 도형을 쪼개는 것이 좌표평면 넓이 계산의 기본기입니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이가 같다는 조건이 나오면 먼저 공통변부터 찾으세요. 두 삼각형의 이름에 같은 문자가 두 개 들어 있으면(ABC와 ABD → A, B 공유) 그 변이 밑변이고, 문제는 평행선 문제로 바뀝니다.
- 직선 AB의 기울기는 (0−10)/(2−0)=−5입니다. 분자와 분모의 순서를 바꿔 5로 잘못 쓰면 D가 x축 음의 방향에 놓여 a>2 조건과 충돌합니다. 조건과 어긋나면 부호부터 다시 확인하세요.
- 평행한 직선은 원래 직선의 위쪽과 아래쪽에 하나씩, 총 두 개가 존재합니다. 이 문제는 ‘점 C를 지나는’ 쪽만 묻고 있고 a>2 조건이 붙어 있으므로 답이 하나로 확정되지만, 조건이 없으면 두 개를 모두 검토해야 합니다.
- 넓이 계산으로 접근할 때 삼각형 ABD의 밑변 BD는 |a−2|입니다. a>2라는 단서 덕분에 절댓값을 그냥 벗길 수 있으니, 이 단서가 왜 붙어 있는지를 의식하고 쓰세요.
- 점 C는 반드시 두 직선을 연립해서 구해야 합니다. 그림에서 눈대중으로 (4, 6) 근처라고 짐작하고 넘어가면, 답이 275나 285 같은 인접 선지로 흘러갑니다.
엄선된 풀이 영상
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