TOUGH
2012년 03월 고2 학력평가 11번
넓이의 이등분
계단 모양 도형
사다리꼴의 넓이
출제의도
앞 문항이 ‘직사각형은 중심을 지나면 이등분된다’는 성질 하나로 끝났다면, 이 문항은 그 성질이 통하지 않는 계단 모양 도형을 던집니다. 중심이라 부를 만한 점이 없으므로, 넓이 조건을 직접 식으로 옮겨야 합니다.
TOUGH로 분류된 진짜 이유는 계산이 아니라 직선이 어느 변과 만나는지를 먼저 확정해야 한다는 데 있습니다. 만나는 변을 CD로 잡느냐 DE로 잡느냐에 따라 세워야 할 식이 완전히 달라지고, 확인 없이 짐작으로 잡으면 계산은 매끄럽게 흘러가면서도 답만 틀립니다. 마지막으로 기울기를 qp 꼴로 물어 p와 q의 자리를 뒤집는 함정까지 얹은 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 도형 OABCDE 전체의 넓이를 구하세요. 계단 모양은 직사각형 두 개로 쪼개면 됩니다. 세로로 자르면 사각형 OQDE(가로 3, 세로 3)와 사각형 QABC(가로 2, 세로 1)로 나뉘어 전체 넓이는 11입니다. 그러면 직선이 잘라내야 할 한쪽 넓이는 112입니다.
다음은 직선이 어느 변을 지나는지 확인할 차례입니다. 직선이 D(3, 3)을 지날 때와 C(3, 1)을 지날 때 왼쪽 부분의 넓이를 각각 계산해 보면, 112가 그 사이에 들어옵니다. 즉 이등분하는 직선은 선분 CD와 만납니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선이 원점을 지나므로 y = ax로 놓습니다. 선분 CD는 x = 3인 세로선이므로 직선과 만나는 점은 P(3, 3a)입니다. 이제 왼쪽 부분은 꼭짓점이 O, P, D, E인 사다리꼴이 되고, 평행한 두 변은 OE = 3과 DP = 3 − 3a, 높이는 DE = 3입니다.
사다리꼴의 넓이를 112과 같다고 놓으면 a에 대한 일차방정식이 됩니다. a를 구한 뒤에는 그 값을 qp와 비교하는 순서에 주의하세요. 분자가 q, 분모가 p입니다. 마지막으로 3a가 1과 3 사이에 있는지 확인하면 힌트 1단계의 가정이 검증됩니다.
정답 확인
정답 ② p + q = 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지는 직사각형의 대각선 성질을 이용해 계산을 최소화하는 방식으로 진행됩니다. 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A보조점을 잡고 그림을 직사각형으로 정리
직선 l과 선분 CD가 만나는 점을 P라 하고, 점 P에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R이라 합니다. C(3, 1)의 x좌표가 3이므로 Q(3, 0)이고, 이때 사각형 OQPR은 직사각형이 됩니다.
STEP B대각선으로 자동 이등분되는 부분 걷어내기
직선 l은 직사각형 OQPR의 대각선 OP를 지나므로 삼각형 OQP와 삼각형 OPR의 넓이는 저절로 같습니다. 따라서 전체가 이등분되려면 남은 두 사각형인 ABCQ와 DERP의 넓이가 같아야 합니다.
( i ) 넓이 조건 — DE × ER = AB × BC, 즉 3 · ER = 1 × 2이므로 ER = 23
( ii ) 점 P의 좌표 — DP = ER = 23이므로 PQ = DQ − DP = 3 − 23 = 73, 즉 P(3, 73)
STEP C기울기와 p+q의 값
두 점 O(0, 0), P(3, 73)을 지나는 직선의 기울기는 (7/3 − 0) ÷ (3 − 0) = 79입니다. 이 값이 qp이므로 p = 9, q = 7이고, 7과 9는 서로소인 자연수이므로 조건에 맞습니다. 따라서 p + q = 16입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선의 방정식으로 밀어붙이기
대각선 성질이 잘 떠오르지 않는다면, 미지수를 하나 놓고 넓이를 직접 계산하는 정공법도 충분히 빠릅니다.
넓이를 이등분하고 원점을 지나는 직선을 y = ax라 하고, 점 C(3, 1)에서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하면 Q(3, 0)입니다. 직선과 선분 CD가 만나는 점을 P라 하면 P(3, 3a)로 놓입니다. 도형 전체의 넓이는 (사각형 OQDE의 넓이) + (사각형 QABC의 넓이) = 9 + 2 = 11이므로, 왼쪽에 남는 사다리꼴 OPDE의 넓이가 112이어야 합니다.
사다리꼴의 넓이 공식으로 쓰면 12 × (OE + DP) × DE = 12 × (3 + 3 − 3a) × 3 = 18−9a2이고, 이것이 112이므로 18 − 9a = 11, 즉 a = 79입니다. 3a = 73 ≈ 2.33으로 1과 3 사이에 있으니 P가 실제로 선분 CD 위에 있다는 것까지 확인됩니다. 따라서 p = 9, q = 7이고 p + q = 16입니다.
실수를 줄이는 전략
- 계단 모양 도형에는 ‘중심을 지나면 이등분’이라는 성질이 통하지 않습니다. 직사각형·평행사변형 등 점대칭 도형에서만 쓸 수 있는 성질임을 구분하세요.
- 직선이 어느 변과 만나는지 반드시 먼저 확정하세요. 직선이 D(3, 3)을 지날 때 왼쪽 넓이는 92, C(3, 1)을 지날 때는 152이므로 112는 그 사이, 즉 교점은 선분 CD 위에 있습니다.
- 전체 넓이 11을 잘못 세면 그 뒤 계산이 아무리 정확해도 소용없습니다. 세로로 자를지 가로로 자를지 정한 뒤 두 직사각형의 가로·세로를 눈으로 다시 확인하세요.
- 사다리꼴의 ‘높이’는 두 평행한 변 사이의 거리입니다. 여기서 평행한 두 변은 세로 방향의 OE와 DP이므로 높이는 가로 길이 DE = 3입니다. 3을 세로 길이로 착각하면 식이 어긋납니다.
- 기울기가 qp로 주어졌습니다. 79와 비교하면 q = 7, p = 9입니다. p = 7, q = 9로 뒤집어도 합은 같아 넘어가지만, ‘p의 값을 구하시오’ 형태로 나오면 그대로 오답이 되므로 습관을 바로잡아 두세요.
- 서로소 조건이 붙어 있으면 약분이 끝난 상태인지 확인해야 합니다. 1418 같은 형태로 두면 p + q가 달라집니다.