TOUGH
최다빈출 왕중요
두 점 사이의 거리
무게중심의 성질
출제의도
이 문항은 세 정점까지의 거리의 제곱의 합을 최소로 만드는 점을 찾는 문제입니다. 구하려는 점의 좌표를 (x, y)로 두면 문제는 곧바로 이차식의 최솟값 문제로 바뀝니다. 즉 도형 문제처럼 보이지만 실제로 요구하는 것은 완전제곱꼴 변형입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 두 가지입니다. 첫째, 거리 자체가 아니라 거리의 ‘제곱’의 합이라는 점을 놓치면 루트를 안고 계산하다 무너집니다. 둘째, 이 최소점이 삼각형 ABC의 무게중심이라는 성질을 알고 있으면 계산 없이 즉답이 가능해, 아는 학생과 모르는 학생의 시간 차이가 극단적으로 벌어집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 P의 좌표를 (x, y)로 놓으세요. 두 점 사이의 거리 공식에서 제곱을 하면 루트가 사라지므로, AP²+BP²+CP²는 x, y에 대한 다항식이 됩니다.
이때 정리된 식을 잘 보면 x만 들어간 항과 y만 들어간 항으로 완전히 분리됩니다. xy항이 없다는 것은 무엇을 의미할까요? 두 변수를 따로따로 최소로 만들면 된다는 뜻입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 거리의 제곱을 모두 더해 정리하면 3x²−30x+3y²−24y+157 꼴이 나옵니다. x²과 y²의 계수가 3이므로, 완전제곱을 만들 때는 반드시 3으로 먼저 묶은 뒤 괄호 안에서 제곱을 완성하세요.
3(x−■)²+3(y−▲)²+(상수) 꼴로 정리되면 최솟값과 그때의 점 P가 동시에 보입니다. 마지막으로 묻는 것은 최솟값이 아니라 P의 x좌표와 y좌표의 합이라는 점을 확인하세요.
정답 확인
정답 9 (P(5, 4)일 때 최솟값 34)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거리의 제곱을 전개해 하나로 합치기
P(x, y)로 두면 AP²=x²−2x+y²−10y+26, BP²=x²−10x+y²−6y+34, CP²=x²−18x+y²−8y+97입니다. 세 식을 더하면 3x²−30x+3y²−24y+157이 됩니다.
STEP B완전제곱꼴로 바꿔 최솟값 읽기
3(x²−10x+25−25)+3(y²−8y+16−16)+157 = 3(x−5)²+3(y−4)²+34입니다. 두 제곱항은 0 이상이므로 x=5, y=4일 때 최솟값 34를 갖습니다. 따라서 P(5, 4)이고 x+y=9입니다.
1등급 다른 풀이 · 무게중심 성질
AP²+BP²+CP²의 값을 최소로 만드는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심과 일치합니다. 이유는 일반화한 계산에서 그대로 나옵니다. 세 꼭짓점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 두고 전개하면 3x²−2(x₁+x₂+x₃)x … 꼴이 되고, 완전제곱을 만들면 축이 x=x₁+x₂+x₃3 에 놓이기 때문입니다.
이 성질을 알고 있으면 A(1, 5), B(5, 3), C(9, 4)의 무게중심 1+5+93, 5+3+43 = (5, 4)를 암산으로 뽑아 x+y=9를 바로 씁니다. 좌표 세 개를 더해 3으로 나누는 것이 전부입니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리의 제곱의 합이므로 루트는 처음부터 등장하지 않습니다. 거리 공식을 쓴 뒤 곧바로 제곱한 형태로 적어 두면 계산이 훨씬 짧아집니다.
- x²의 계수가 1이 아니라 3입니다. 3으로 묶지 않고 −30x의 절반을 그대로 제곱하는 실수가 가장 많이 나옵니다.
- 완전제곱을 만들 때 더한 값에도 계수 3이 곱해집니다. 3×25=75, 3×16=48만큼을 빼야 상수항이 157−75−48=34로 맞습니다.
- 답은 최솟값 34가 아니라 x+y=9입니다. 최솟값을 답으로 적는 실수를 반드시 경계하세요.
- 무게중심 성질은 이 유형의 정답 검산용으로도 최고입니다. 완전제곱으로 구한 좌표가 세 점의 평균과 일치하는지 확인하면 계산 실수를 즉시 잡아낼 수 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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