TOUGH
2018년 3월 고1 학평 29번
전개도와 최단거리
삼각형의 무게중심
출제의도
이 문항은 입체도형 위에서 꺾인 경로 GP+PQ+QG′의 최솟값을 다룹니다. 공간에서 여러 면을 건너가는 경로의 최솟값은 예외 없이 전개도를 펼쳐 한 직선으로 만드는 순간 결정됩니다. 즉 최솟값은 선분 GG′의 길이 하나로 압축됩니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 그다음입니다. 전개도 위에서 무게중심 G와 G′의 위치를 밑면 중심 O로부터의 거리로 표현해야 하는데, 여기서 정삼각형의 높이와 무게중심의 2:1 성질, 그리고 정사각형 밑면의 직각 구조가 한꺼번에 동원됩니다. 세 가지 중 하나라도 놓치면 식이 서지 않습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
G는 옆면 삼각형 ACD 위의 점, G′은 옆면 삼각형 ADE 위의 점, P와 Q는 각각 모서리 CD, DE 위의 점입니다. 즉 경로는 두 옆면과 밑면을 차례로 지나갑니다.
이런 경로의 길이를 입체 그림 위에서 계산하려 하면 답이 나오지 않습니다. 옆면 두 개를 밑면과 같은 평면으로 펼친 전개도를 그리세요. 네 점 G, P, Q, G′이 한 직선 위에 놓일 때 무엇이 최솟값이 될까요?
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
한 모서리의 길이를 a, 밑면 정사각형 BCDE의 대각선의 교점을 O라 하고, 전개도에서 CD와 OA의 교점을 R라 하세요. 한 변이 a인 정삼각형 ACD의 높이는 √32a이고, 무게중심 G는 중선 AR를 2:1로 내분하므로 GR는 그 높이의 13입니다.
OR는 정사각형의 중심에서 한 변까지의 거리이므로 12a입니다. 이제 OG=OR+GR를 구하고, CD와 DE가 서로 수직이라는 사실에서 삼각형 GOG′이 어떤 삼각형인지 판단해 GG′을 a로 나타내세요. 마지막으로 주어진 최솟값과 등식을 세우면 됩니다.
정답 확인
정답 180 (한 모서리의 길이 a = 180)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A전개도에서 OG의 길이 구하기
한 모서리를 a, 밑면 대각선의 교점을 O, 전개도에서 CD와 OA의 교점을 R라 합니다. 정삼각형 ACD의 높이는 AR=√32a이고, 무게중심의 2:1 성질에서 GR=13AR=√36a입니다. 여기에 OR=12a를 더하면 OG=16(3+√3)a입니다.
STEP B직각이등변삼각형에서 GG′ 구하기
OG′도 같은 이유로 16(3+√3)a이고, CD와 DE가 수직이므로 ∠GOG′=90°입니다. 즉 삼각형 GOG′은 직각이등변삼각형이므로 GG′=√2×OG=√26(3+√3)a입니다.
STEP C최솟값 조건으로 a 결정
GP+PQ+QG′은 네 점 G, P, Q, G′이 전개도에서 한 직선 위에 있을 때 최소이고 그 값이 곧 GG′입니다. 3√2+√66a=30(3√2+√6)에서 16a=30이므로 a=180입니다.
1등급 다른 풀이 · 전개도에 좌표 얹기
전개도의 밑면 정사각형 중심 O를 원점으로 잡고 각 변이 좌표축과 평행하도록 두면 C(−a2, −a2), D(a2, −a2), E(a2, a2)입니다.
G는 CD의 수직이등분선 위에서 아래쪽으로 OG만큼 떨어진 점이므로 G(0, −(3+√3)a6), 같은 대칭성으로 G′((3+√3)a6, 0)입니다. 두 점 사이의 거리 공식을 그대로 적용하면 GG′=√2×(3+√3)a6이 한 줄에 나옵니다. 이 단원의 도구인 거리 공식만으로 도형적 관찰 없이 처리할 수 있다는 점에서 검산용으로도 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- 공간에서 여러 면을 지나는 경로의 최솟값은 무조건 전개도입니다. 입체 그림 위에서 길이를 직접 재려는 시도는 시간만 소모합니다.
- 무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1로 내분합니다. 밑변 쪽 조각인 GR는 중선의 13이지 12가 아닙니다.
- OR=12a는 정사각형의 중심에서 한 변까지의 거리입니다. 대각선의 절반 √22a와 혼동하지 마세요.
- ∠GOG′=90°인 근거는 밑면이 정사각형이어서 CD와 DE가 서로 수직이기 때문입니다. 근거 없이 직각으로 가정하면 서술형에서 감점됩니다.
- 구하는 값은 최솟값이 아니라 모서리의 길이입니다. 16a=30까지 정리한 뒤 a=180을 답으로 적어야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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