TOUGH
최다빈출 왕중요
중점의 좌표
삼각형의 무게중심
출제의도
이 문항은 ‘세 점으로부터 같은 거리에 있는 직선’이라는 도형 조건을 좌표 계산으로 옮기는 문제입니다. 직선 l이 선분 PQ, PR과 만나는 점 A, B가 사실은 각 선분의 중점이라는 사실만 밝혀내면, 남는 계산은 중점 공식 세 번과 무게중심 공식 한 번이 전부입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 계산량이 아니라 조건의 번역 때문입니다. 직선 l의 방정식을 직접 구하려고 달려들면 기울기와 절편 두 개의 미지수에 막힙니다. 이 문제에서 l의 방정식은 끝까지 한 번도 필요하지 않습니다. 거리 조건을 합동으로 읽어내느냐가 승부처입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점과 직선 사이의 거리는 수선의 길이입니다. 세 점 P, Q, R에서 직선 l에 내린 수선의 발을 각각 P′, Q′, R′이라 하면 조건은 PP′=QQ′=RR′로 바뀝니다.
그림을 보면 P는 직선 l의 위쪽, Q와 R는 아래쪽에 있습니다. 즉 l이 선분 PQ와 선분 PR을 가로지릅니다. 길이가 같은 두 수선, 맞꼭지각(엇각), 직각 — 이 세 가지가 모이면 어떤 합동 조건이 완성될까요?
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
△PAP′와 △QAQ′에서 ASA 합동이 성립하므로 PA=QA, 즉 A는 선분 PQ의 중점입니다. 같은 논리로 B는 선분 PR의 중점입니다. 문제에서 C는 이미 선분 QR의 중점으로 주어져 있습니다.
이제 중점 공식으로 A, B, C의 좌표를 각각 구하고, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심 공식에 넣으세요. 마지막에 묻는 것은 무게중심의 좌표가 아니라 x+y의 값이라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ⑤ G133, 113 이므로 x+y = 8
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합동으로 A, B의 정체 밝히기
수선의 발을 P′, Q′, R′이라 하면 PP′=QQ′, ∠APP′=∠AQQ′(엇각), ∠AP′P=∠AQ′Q=90°이므로 △PAP′≡△QAQ′(ASA)입니다. 따라서 PA=QA, 즉 A는 선분 PQ의 중점입니다. 같은 방식으로 △PP′B≡△RR′B에서 PB=RB이므로 B는 선분 PR의 중점입니다.
STEP B세 중점의 좌표 구하기
P(3, 7), Q(1, 1), R(9, 3)에 대하여 PQ의 중점 A는 (2, 4), PR의 중점 B는 (6, 5), QR의 중점 C는 (5, 2)입니다. 즉 삼각형 ABC는 삼각형 PQR의 세 변의 중점을 이은 중점삼각형입니다.
STEP C무게중심 좌표와 답
A(2, 4), B(6, 5), C(5, 2)의 무게중심은 2+6+53, 4+5+23 이므로 G133, 113 입니다. 따라서 x+y = 243 = 8입니다.
1등급 다른 풀이 · 중점삼각형의 무게중심
삼각형의 세 변의 중점을 이어 만든 중점삼각형은 원래 삼각형과 무게중심이 일치합니다. 좌표로 확인하면 이유가 한 줄입니다. 세 중점의 좌표를 모두 더하면 P+Q2+P+R2+Q+R2 = P+Q+R이므로, 3으로 나눈 값이 서로 같기 때문입니다.
따라서 A, B, C의 좌표를 하나하나 구할 필요 없이 G3+1+93, 7+1+33 = G133, 113 로 바로 끝납니다. 시험장에서는 이 성질 하나로 30초 안에 정리됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 직선 l의 방정식을 구하려 하지 마세요. 이 문제는 l이 어떤 직선인지 몰라도 답이 나옵니다. 필요한 것은 ‘거리가 같다’는 조건뿐입니다.
- 점과 직선 사이의 거리는 수선의 길이입니다. 거리 조건이 나오면 수선을 그어 직각을 만드는 것이 도형 문제의 정석입니다.
- B는 선분 PR의 중점이지 PQ의 중점이 아닙니다. A와 B가 각각 어느 변의 중점인지 그림에서 다시 확인하고 좌표를 대입하세요.
- 묻는 것은 무게중심의 좌표가 아니라 x+y입니다. 13/3, 11/3을 구해놓고 답을 고르지 못하는 실수가 가장 흔합니다.
엄선된 풀이 영상
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