TOUGH
내분점
넓이비와 길이비
2019년 09월 고1 학평 12번
출제의도
이 문항은 삼각형의 넓이 조건을 길이의 비로 번역하고, 그 비를 다시 내분점 공식으로 옮기는 2단 구조입니다. 출발점은 ‘높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다’는 성질 하나뿐입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 계산량이 아니라 발견의 난이도 때문입니다. 그림에는 원점이 그저 좌표축의 교점처럼 놓여 있지만, 실제로는 원점 O가 선분 BA를 2 : 1로 내분하는 점이라는 사실을 스스로 알아채야 합니다. 이것만 보이면 나머지는 공식 대입 한 줄입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 삼각형 BOC와 OAC를 보세요. 밑변을 각각 BO, OA로 잡으면 높이는 둘 다 ‘점 C에서 직선 AB까지의 거리’로 완전히 같습니다.
높이가 같다면 넓이의 비는 곧 밑변의 비입니다. 넓이의 비가 2 : 1이므로 BO : OA = 2 : 1이 되고, 세 점 B, O, A는 한 직선 위에 있으므로 이 비는 ‘원점 O가 선분 BA를 2 : 1로 내분한다’는 뜻이 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 점 B(a, b), A(3, 1)에 대해 선분 BA를 2 : 1로 내분하는 점의 좌표를 공식으로 써 보세요. B에서 A로 가는 방향이므로 A의 좌표에 2, B의 좌표에 1을 곱해 3으로 나눕니다.
이 점이 원점 (0, 0)과 일치한다는 것은 곧 두 분수의 분자가 각각 0이라는 뜻입니다. x좌표 식과 y좌표 식을 따로 0으로 놓으면 a와 b가 한 번에 결정됩니다.
정답 확인
정답 ① a + b = −8
a = −6, b = −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이의 비를 길이의 비로 번역
두 삼각형 BOC, OAC의 높이는 점 C에서 선분 AB까지의 거리로 같습니다. 따라서 넓이의 비 2 : 1이 그대로 밑변의 비가 되어 BO : OA = 2 : 1이고, 원점 O는 선분 BA를 2 : 1로 내분하는 점입니다.
STEP B내분점 공식으로 a, b 결정
B(a, b), A(3, 1)에 대하여 선분 BA를 2 : 1로 내분하는 점은 6+a3, 2+b3 입니다. 이 점이 O(0, 0)이므로 6 + a = 0에서 a = −6, 2 + b = 0에서 b = −2. 따라서 a + b = −8입니다.
1등급 다른 풀이 · 직각삼각형의 닮음
내분점 공식을 쓰지 않고 닮음만으로도 끝낼 수 있습니다. 점 A(3, 1)에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH = 1, OH = 3입니다. 점 B(a, b)에서 y축에 내린 수선의 발을 H′이라 하면, ∠AOH = ∠OBH′, ∠OAH = ∠BOH′이므로 삼각형 AOH와 삼각형 OBH′은 AA닮음입니다.
원점 O가 선분 BA를 2 : 1로 내분하므로 닮음비는 AO : OB = 1 : 2입니다. 따라서 AH : OH′ = 1 : 2에서 OH′ = 2, OH : BH′ = 1 : 2에서 BH′ = 6입니다. 점 B는 제3사분면 위의 점이므로 B(−6, −2), 즉 a + b = −8. 좌표 계산 없이 그림만으로 답이 나오는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이의 비를 길이의 비로 바꾸기 전에 ‘높이가 정말 같은가’를 먼저 확인하세요. 공통인 꼭짓점에서 같은 직선까지의 거리일 때만 성립합니다.
- 내분점 공식은 방향에 민감합니다. 선분 BA를 2 : 1로 내분하면 도착점 A의 좌표에 2를, 출발점 B의 좌표에 1을 곱합니다. AB로 잘못 읽으면 계수가 뒤바뀌어 전혀 다른 답이 나옵니다.
- ‘내분점이 원점과 일치한다’는 조건은 분수를 정리할 필요 없이 분자를 0으로 놓으면 끝입니다. 굳이 통분하거나 이항하지 마세요.
- 마지막에 검산하세요. 구한 B(−6, −2)가 직선 y = 13x 위의 점인지 대입해 보면 −2 = −6 ÷ 3으로 맞아떨어집니다.
엄선된 풀이 영상
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