TOUGH
두 점 사이의 거리
삼각부등식
출제의도
이 문항은 움직이는 점 P에 대한 두 거리의 ‘차’가 언제 최대가 되는지를 묻습니다. P를 (p, 0)으로 놓고 PA와 PB를 각각 루트로 쓴 뒤 그 차를 최대화하려 들면, 무리식의 뺄셈이라 손을 댈 방법이 없습니다. 이 문항의 출제 의도는 계산 능력이 아니라 ‘번역 능력’입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 두 단계가 필요하기 때문입니다. 첫째, 삼각형의 두 변의 길이의 차는 나머지 한 변보다 작다는 성질로 상한을 잡는 단계. 둘째, 그 상한이 실제로 도달 가능한 값인지 확인하는 단계. 상한만 구하고 등호 성립을 확인하지 않으면 반쪽짜리 풀이가 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
P가 x축 위를 움직이면 PA와 PB는 계속 변하지만, AB의 길이는 P와 무관하게 고정되어 있습니다. 변하는 두 값의 차를, 변하지 않는 한 값으로 눌러 가둘 수 있는지가 열쇠입니다.
세 점 A, B, P가 삼각형을 이룰 때 삼각형의 세 변 사이에는 ‘두 변의 길이의 차 < 나머지 한 변’이라는 관계가 성립합니다. 세 점이 한 직선 위에 있는 경우는 따로 떼어 생각하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
PB < PA+AB와 PA < PB+AB를 각각 이항하면 −AB < PB−PA < AB, 즉 |PB−PA| < AB를 얻습니다. 한 직선 위에 놓이는 경우까지 합치면 |PB−PA| ≤ AB가 됩니다. 이제 구할 것은 AB 하나뿐입니다.
마지막에 문제가 요구한 것이 |PB−PA|가 아니라 |PB−PA|²라는 점을 놓치지 마세요. AB를 구한 뒤 제곱해야 답입니다.
정답 확인
정답 ④ |PB−PA|²의 최댓값 = 20
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A삼각부등식으로 상한 잡기
(ⅰ) 세 점이 한 직선 위에 있지 않을 때는 삼각형이 만들어지므로 PB < PA+AB, PA < PB+AB에서 −AB < PB−PA < AB, 즉 |PB−PA| < AB입니다. (ⅱ) 세 점이 한 직선 위에 있을 때는 |PB−PA| = AB입니다. 둘을 합치면 모든 경우에 |PB−PA| ≤ AB가 성립합니다.
STEP BAB의 길이를 구하고 제곱하기
A(3, 6), B(5, 10)에서 AB=√((5−3)²+(10−6)²)=√20=2√5입니다. 따라서 |PB−PA|² ≤ AB² = 20이므로 구하는 최댓값은 20입니다.
1등급 다른 풀이 · 등호 성립 지점을 직접 찾기
부등식으로 상한을 얻었다면, 그 값이 실제로 나오는 P가 x축 위에 존재하는지 확인해야 풀이가 완성됩니다. 직선 AB의 기울기는 (10−6)/(5−3)=2이고 A(3, 6)을 지나므로 직선의 식은 y=2x, x축과 만나는 점은 원점 O(0, 0)입니다.
이 점을 P로 두면 PA=√(9+36)=3√5, PB=√(25+100)=5√5이므로 PB−PA=2√5로 정확히 AB와 같습니다. 등호가 실제로 성립하니 최댓값 20은 도달 가능한 값입니다. 만약 직선 AB와 x축의 교점이 선분 AB의 내부에 놓였다면 |PB−PA| < AB만 성립해 최댓값이 존재하지 않았을 것입니다. 이 확인 한 줄이 상위권과 중위권을 가릅니다.
실수를 줄이는 전략
- P를 (p, 0)으로 놓고 무리식의 차를 최대화하려 하지 마세요. 이 유형은 계산이 아니라 삼각부등식으로 번역하는 문제입니다.
- 거리의 ‘합’의 최소는 대칭이동, 거리의 ‘차’의 최대는 삼각부등식입니다. 두 유형을 반드시 짝으로 묶어서 기억하세요.
- 절댓값을 씌운 형태 |PB−PA|로 정리해야 P의 위치에 따라 부호가 뒤집히는 경우까지 한 번에 처리됩니다.
- 문제가 요구한 것은 거리의 차가 아니라 그 제곱입니다. 2√5에서 멈추면 오답, 제곱해서 20까지 가야 정답입니다.
엄선된 풀이 영상
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