TOUGH
두 점 사이의 거리
직각이등변삼각형
출제의도
이 문항은 ‘직각이등변삼각형’이라는 한 단어 안에 서로 다른 두 개의 조건이 겹쳐 있다는 사실을 알아채는지 묻습니다. ∠B=90°라는 직각 조건이 하나, 두 변의 길이가 같다는 이등변 조건이 또 하나입니다. 이 둘을 동시에 만족시키는 a만이 답이 됩니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 계산량 때문이 아닙니다. 직각 조건만 풀면 a=3 또는 a=6이 나오고, 이등변 조건만 풀면 a=−3/2 또는 a=6이 나옵니다. 서로 다른 두 해집합이 등장하는 구조를 미리 예상하고, 마지막에 교집합을 취해야 한다는 것까지 스스로 설계할 수 있는지가 승부처입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 꼭짓점의 좌표에 문자 a가 섞여 있으므로, 먼저 세 변의 길이를 거리 공식으로 모두 a에 대한 식으로 만들어 두는 것이 출발점입니다. 루트를 벗겨야 하니 처음부터 ‘제곱 상태’로 관리하세요.
그다음이 핵심입니다. ∠B=90°인 직각이등변삼각형이라면 직각을 낀 두 변이 같은 변입니다. 즉 CA가 빗변이고 AB=BC입니다. 어느 두 변이 같은지를 먼저 확정하지 않으면 뒤에서 엉뚱한 식을 세우게 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건을 두 개의 방정식으로 분리해 각각 풉니다. 하나는 피타고라스 정리 CA²=AB²+BC², 다른 하나는 이등변 조건 AB²=BC²입니다. 각각을 a에 대한 이차방정식으로 정리하면 어렵지 않게 인수분해됩니다.
여기서 멈추면 안 됩니다. 두 방정식에서 나온 해를 나란히 적어 놓고, 양쪽에 공통으로 등장하는 값 하나만 골라야 합니다. 그 값이 답입니다.
정답 확인
정답 a = 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 변의 길이를 a로 표현
A(0, 2a), B(−a, 3), C(3, −3)에 거리 공식을 적용하면 AB²=5a²−12a+9, BC²=a²+6a+45, CA²=4a²+12a+18을 얻습니다. 세 식 모두 a에 대한 이차식이라는 점을 확인해 두세요.
STEP B두 조건을 각각 풀고 교집합 취하기
(ⅰ) CA²=AB²+BC²에서 4a²+12a+18=6a²−6a+54, 정리하면 a²−9a+18=0이므로 a=3 또는 a=6입니다. (ⅱ) AB²=BC²에서 5a²−12a+9=a²+6a+45, 정리하면 2a²−9a−18=0이므로 a=−3/2 또는 a=6입니다. 두 결과에 공통으로 나타나는 값은 a=6뿐이므로 답은 6입니다.
1등급 다른 풀이 · 기울기로 직각을 처리하기
직각 조건은 거리 공식 대신 기울기의 곱으로 옮길 수 있습니다. 직선 BA의 기울기는 (2a−3)/a, 직선 BC의 기울기는 −6/(a+3)이고, 두 직선이 수직이므로 곱이 −1입니다.
이 식을 정리하면 −6(2a−3)=−a(a+3), 즉 a²−9a+18=0으로 앞의 (ⅰ)과 똑같은 결과가 훨씬 짧은 전개로 나옵니다. 세 변의 길이를 모두 구할 필요 없이 두 변만 다루면 되므로 계산량이 절반입니다. 다만 a=0이나 a=−3처럼 기울기가 정의되지 않는 경우가 없는지는 따로 확인해야 합니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘직각이등변’은 조건 두 개짜리 단어입니다. 한쪽만 풀고 답을 쓰면 a=3까지 답에 넣는 실수가 나옵니다.
- 이등변 조건을 세우기 전에 어느 두 변이 같은지부터 확정하세요. ∠B=90°이면 빗변은 CA이고, 같은 두 변은 AB와 BC입니다.
- 거리는 반드시 제곱 상태로 다루세요. 루트를 달고 다니면 인수분해가 되지 않습니다.
- 이차방정식 두 개를 풀었다면 마지막은 교집합입니다. 두 해집합을 나란히 적어놓고 공통값을 고르는 습관을 들이면 이 유형에서 실점이 사라집니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.