TOUGH
두 점 사이의 거리
근과 계수의 관계
중점
2020년 09월 고1 학평 16번
출제의도
이 문항은 이차함수와 직선의 두 교점 사이의 거리를 묻습니다. 교점의 좌표를 직접 구하는 대신, 교점의 x좌표를 이차방정식의 두 근으로 두고 근과 계수의 관계로 처리하는 것이 설계된 정석 경로입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 조건 하나가 그림 속 도형 언어로 숨겨져 있기 때문입니다. ‘MH = 1’은 중점 M에서 y축까지의 거리가 1이라는 뜻이고, 이것을 ‘M의 x좌표가 1’로 번역해야만 미지수 a를 잡을 수 있습니다. 이 번역에서 막히면 문제 전체가 멈춥니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 교점 P, Q의 x좌표를 α, β라 두세요. 그러면 α, β는 ax² = 12x + 1, 즉 2ax² − x − 2 = 0의 두 근입니다. 근과 계수의 관계로 합과 곱을 a로 표현할 수 있습니다.
H는 M에서 y축에 내린 수선의 발이므로 MH는 곧 M의 x좌표의 절댓값입니다. 여기에 ‘M은 선분 PQ의 중점’이라는 사실을 붙이면 α + β의 값이 확정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
(α + β) ÷ 2 = 1에서 α + β = 2. 이것을 근과 계수의 관계 식과 연립하면 a가 나오고, 그 a를 다시 넣어 αβ까지 확정하세요. 여기까지가 준비 단계입니다.
거리 계산에서는 좌표를 하나하나 구하지 마세요. 두 점이 기울기 12인 직선 위에 있으므로 y좌표의 차는 x좌표 차의 절반입니다. 따라서 PQ는 |β − α|의 상수배가 되고, |β − α|는 (α + β)² − 4αβ의 제곱근으로 한 번에 나옵니다.
정답 확인
정답 ③ 선분 PQ의 길이 = 5
a = 14, α + β = 2, αβ = −4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A교점의 x좌표를 근으로 두기
ax² = 12x + 1을 정리하면 2ax² − x − 2 = 0이고, 이 방정식의 두 근이 α, β입니다. 근과 계수의 관계에서 α + β = 12a, αβ = −1a입니다.
STEP BMH = 1을 이용해 a 결정
MH = 1이므로 중점 M의 x좌표는 1이고, M이 선분 PQ의 중점이므로 (α + β) ÷ 2 = 1, 즉 α + β = 2입니다. 이를 12a = 2와 비교하면 4a = 1에서 a = 14이고, 이때 αβ = −4가 됩니다.
STEP C두 점 사이의 거리로 PQ 계산
P, Q는 기울기 12인 직선 위의 점이므로 PQ² = (β − α)² + 14(β − α)², 즉 PQ = √52|β − α|입니다. |β − α| = √((α + β)² − 4αβ) = √(4 + 16) = 2√5이므로 PQ = √52 × 2√5 = 5입니다.
1등급 다른 풀이 · 곱셈 공식의 변형
|β − α|를 따로 구하지 않고 PQ²를 한 번에 대칭식으로 정리할 수도 있습니다. 전개하면 PQ² = 54(α² + β²) − 52αβ가 되고, 여기에 α² + β² = (α + β)² − 2αβ를 대입하면 PQ² = 54(α + β)² − 5αβ로 압축됩니다.
값을 넣으면 PQ² = 54 × 2² − 5 × (−4) = 5 + 20 = 25, 즉 PQ = 5입니다. 근의 차를 거치지 않고 합과 곱만으로 끝나므로 계산 실수가 줄어듭니다.
좌표를 직접 구하는 길도 있습니다. M의 x좌표가 1이고 M이 중점이므로 P, Q의 x좌표를 1 − m, 1 + m (m > 0)으로 대칭하게 잡습니다. 두 점을 y = ax²에 대입해 연립하면 m = 4am에서 a = 14, 이어서 m² = 5에서 m = √5를 얻습니다. P(1 − √5, 3−√52), Q(1 + √5, 3+√52)를 거리 공식에 넣으면 √(20 + 5) = 5로 같은 답입니다.
실수를 줄이는 전략
- 2ax² − x − 2 = 0에서 근과 계수의 관계를 쓸 때 최고차항 계수가 2a라는 점을 놓치지 마세요. α + β = 12a이지 1a가 아닙니다.
- y축에 내린 수선의 발까지의 거리는 x좌표의 절댓값입니다. x축과 y축을 반대로 읽으면 조건 자체가 바뀝니다.
- a를 구한 뒤 αβ를 반드시 다시 계산하세요. αβ는 a에 의존하므로, a를 확정하기 전에 적어 둔 값을 그대로 쓰면 틀립니다.
- 기울기 m인 직선 위 두 점의 거리는 √(1 + m²) × |x좌표의 차|입니다. 이 공식을 외워 두면 y좌표를 계산할 필요가 사라집니다.
- |β − α|는 항상 (α + β)² − 4αβ의 제곱근으로 바꿔 처리하세요. 근의 공식으로 α, β를 각각 구하는 순간 무리수 계산이 두 배로 늘어납니다.
엄선된 풀이 영상
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