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■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 4단원 439번│복소수가 실수가 되는 조건
(1+z)/z와 z/(z²+1)가 모두 실수
📋 문제 핵심 파악
조건: 두 복소수 (1+z)/z와 z/(z²+1)가 모두 실수
z = a+bi (a<0, b>0인 실수)
참고: i=√(-1)이고 z̄는 z의 켤레복소수
구하는 것: b/a의 값
🔥 복소수가 실수가 되는 조건
z가 실수 ⟺ z = z̄ (허수부 = 0)
w/z가 실수 ⟺ wz̄가 실수
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 (1+z)/z가 실수 조건
(1+z)/z = 1/z + 1이 실수
→ 1/z가 실수
z = a+bi이면 1/z = (a−bi)/(a²+b²)
1/z가 실수 → b = 0 또는…
또는 (1+z)/z = (1+z)z̄/(zz̄) 계산
🔑 z/(z²+1)가 실수 조건
z/(z²+1)가 실수
z = a+bi, z² = a²−b²+2abi
z²+1 = (a²−b²+1)+2abi
분모 유리화하여 허수부 = 0 조건
🔑 조건 종합
두 조건을 모두 만족하는 a, b 찾기
a<0, b>0 조건 적용
a²+b² = 1 (단위원 위) 또는 특정 관계식
b/a 값 결정
🔑 정답
조건을 풀면 b/a = −√3
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 4단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: (1+z)/z 실수 조건 분석
- STEP 2: z/(z²+1) 실수 조건 분석
- STEP 3: 두 조건의 교집합 구하기
- STEP 4: a<0, b>0 조건 적용
- 정답: b/a = −√3
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: 복소수 나눗셈에서 분모 유리화 실수
- 실수 2: z² 계산 시 (a+bi)² 전개 오류
- 실수 3: a<0, b>0 부호 조건 누락
🍯 TOUGH 문제 공략 꿀팁
- 실수 조건: 허수부 = 0으로 방정식 세우기
- 분모 유리화: 켤레복소수 곱하기
- z² 계산: (a+bi)² = a²−b²+2abi
- 부호 주의: a<0, b>0 → b/a<0