📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서공통수학1 2단원 288번│고2 학력평가 29번
f(x)=0이 실근을 갖지 않고 g(x), h(x)를 인수로 가질 때
📋 기출 정보 – 킬러 문항
- 출처: 2024년 3월 고2 학력평가
- 문항번호: 29번 (최고난도)
- 단원: 다항식의 나눗셈과 인수분해
- 난이도: 최상 (1등급 변별 킬러)
📋 문제 핵심 파악
주어진 것: f(x) = x⁴+(a+2)x³+bx²+ax+6
조건 (가): 방정식 f(x)=0은 실근을 갖지 않는다
조건 (나): f(x)는 최고차항의 계수가 1이고 상수항이 모두 실수인 두 다항식 g(x), h(x)를 인수로 갖고, h(x)를 g(x)로 나눈 나머지는 −4x−10
구하는 것: a²+b²의 값 (단, a, b는 상수)
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 실근이 없다 = 허근만 존재
사차방정식이 실근을 갖지 않으면 4개의 허근을 가집니다.
허근은 켤레 복소수 쌍으로 나타나므로 f(x)는 두 이차식의 곱으로 인수분해됩니다.
🔑 인수 g(x), h(x)의 구조
f(x) = g(x)·h(x) (g, h는 이차식, 최고차계수 1)
g(x) = x²+px+q, h(x) = x²+rx+s 형태
두 이차식 모두 판별식 < 0 (실근 없음)
🔑 나머지 조건 활용
h(x)를 g(x)로 나눈 나머지가 −4x−10
→ h(x) = g(x)·1 + (−4x−10) (몫이 1, 차수 같으므로)
→ h(x) − g(x) = −4x−10
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 2단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 킬러 공략 포인트
- STEP 1: f(x) = g(x)h(x), g·h 모두 이차식 (실근 없음)
- STEP 2: h(x)−g(x) = −4x−10 조건 활용
- STEP 3: 계수 비교로 p, q, r, s 관계식 도출
- STEP 4: f(x)의 계수와 비교하여 a, b 결정 → a²+b² 계산
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: “실근 없음” → 허근 4개 → 이차식 2개로 인수분해 연결 못함
- 실수 2: h(x)÷g(x)의 몫이 1임을 파악 못함 (차수가 같으므로)
- 실수 3: 계수 비교에서 조건 하나를 빠뜨려 미지수 결정 불가
🍯 1등급 달성 꿀팁
- 29번 전략: 시험장에서 막히면 스킵 후 나중에 재도전!
- 실근 조건: 실근 없음 = 허근만 = 켤레쌍 = 이차인수분해
- 나머지 조건: 같은 차수 나눗셈 → 몫=상수, 나머지=일차
- 검산: 구한 a, b로 f(x) 완성 후 조건 (가), (나) 확인