마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL01-1 함수의 극한 함수의 극한
②a=−1, b=−1, a+b=−2
b≠0 조건은 분모 x+a 도 0으로 간다는 뜻으로 읽으세요 분자에 x=1 을 넣으면 0 이므로 b≠0 은 분모→0 을 강제한다.개념 카드 · 미정계수의 결정(유리식) 「b≠0 은 ‘분모도 0’ 이라는 신호」
분자 x²+(2a−1)x−2a 에 x=1 을 넣으면 1+2a−1−2a=0 으로, a 값과 무관하게 항상 0 이다. 극한값 b 가 0 이 아니라고 했으니 해설 STEP A 처럼 분모 x+a 도 0 이어야 하고, 1+a=0 에서 a=−1 이다. (단, b≠0) 이라는 괄호가 조건을 주는 문제다.◀ b≠0 은 ‘분모도 0’ 이라는 신호
a=−1 이면 분자는 x²−3x+2=(x−1)(x−2), 분모는 x−1 이다. 해설 STEP B 의 취소선처럼 (x−1) 을 약분하면 x−2 만 남는다. 원래 분자 x²+(2a−1)x−2a 는 (x−1)(x+2a) 로도 묶이는데, a=−1 을 넣으면 같은 결과다.◀ a 를 넣고 (x−1) 약분
약분 뒤 남은 x−2 에 x=1 을 넣으면 b=−1 이고 b≠0 조건에도 맞는다. STEP C 처럼 a+b=−1+(−1)=−2 이므로 답은 ②. ab 가 아니라 a+b 를 묻는다는 점만 다시 확인하자.◀ a=−1, b=−1, 합은 −2
발상의 출발점이 문제의 열쇠는 (단, b≠0) 이다. 분자에 x=1 을 넣으면 a 가 무엇이든 0 이 되므로, 극한값이 0 이 아니려면 분모 x+a 도 0 으로 가야 한다는 결론이 나오고 거기서 a 가 정해진다. 조건이 ‘분모→0 이면 분자→0’ 이 아니라 그 반대 방향으로 쓰인다는 것을 읽어내면, 나머지는 인수분해·약분·대입의 익숙한 길이다.
실수 포인트 ①분자에 x=1 을 넣어 보지 않고 분모→0 부터 찾으려는 실수. 분자가 먼저 0 임을 확인해야 b≠0 ⇒ 분모→0 논리가 성립한다 → 1+a=0, a=−1
실수 포인트 ②a=−1 을 넣을 때 (2a−1) 과 −2a 의 부호를 틀려 분자를 x²−x+2 등으로 잘못 쓰는 실수. 2×(−1)−1=−3, −2×(−1)=+2 이므로 분자는 x²−3x+2 다 → (x−1)(x−2)
실수 포인트 ③구한 b=−1 이 b≠0 에 맞는지 확인하지 않거나 ab 를 계산하는 실수. 묻는 것은 a+b 이므로 −1+(−1)=−2 → ②
정답 ② (a=−1, b=−1, a+b=−2)
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