마플시너지공수1답지 1111번 서술형 접선·할선 성질·사차방정식 핵심 포인트

1111번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형(최다빈출)으로, 원 밖의 점 P에서 접선의 접점을 A, 할선이 원과 만나는 두 점을 B, C라 할 때, PB=x²−x+6, BC=2x, PA=2√6·x 조건에서 접선과 할선의 성질 PA²=PB×PC를 이용하여 사차방정식을 세우고, 모든 x의 값의 합을 구하는 문제입니다.

① 1단계 · 접선과 할선 사이의 성질로 사차방정식 구하기 [4점] — PC=PB+BC=x²−x+6+2x=x²+x+6. PA²=PB×PC에서 (2√6·x)²=(x²−x+6)(x²+x+6), 24x²=(x²+6)²−x²=x⁴+12x²+36−x²=x⁴+11x²+36. 정리하면 x⁴−13x²+36=0.

② 2단계 · x²=X로 치환하여 해 구하기 [5점] — X²−13X+36=0, (X−4)(X−9)=0이므로 X=4 또는 X=9. BC=2x>0, PA=2√6·x>0이므로 x>0. (ⅰ) X=4일 때 x²=4에서 x=2 (∵ x>0). (ⅱ) X=9일 때 x²=9에서 x=3 (∵ x>0).

③ 3단계 · 모든 x의 값의 합 [1점] — x=2 또는 x=3이므로 모든 x의 값의 합은 2+3=5.

정답: 5.