마플시너지공수1답지 1024번 TOUGH 사차방정식 허근·나머지정리 핵심 포인트

1024번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 계수가 모두 실수인 사차방정식 P(x)=0의 (가) 한 근이 1−√3i이고, (나) 나머지정리에 의하여 P(1)=18일 때, a+b−c를 구하는 문제입니다.

① STEP A · 켤레근으로 이차인수 구하기 — 조건 (가)에서 한 근이 1−√3i이면 켤레근 1+√3i도 근입니다. 최고차항의 계수가 1이고 이 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 x²−2x+4=0이므로, x²−2x+4는 P(x)의 인수입니다.

② STEP B · 항등식 성질로 a, b, c 구하기 — P(x)=(x²−2x+4)(x²+mx+n)으로 놓으면, x³의 계수에서 2=m−2 → m=4. 조건 (나)에서 P(1)=(1−2+4)(1+m+n)=3(1+4+n)=18이므로 n=1.

③ 전개 후 계수 확인 — P(x)=(x²−2x+4)(x²+4x+1)=x⁴+2x³−3x²+14x+4이므로 a=−3, b=14, c=4. 따라서 a+b−c=−3+14−4=7.

정답: 7.