마플시너지공수1답지 1021번 TOUGH 삼차방정식 켤레근 → 이차방정식 작성 핵심 포인트

1021번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 계수가 실수인 삼차방정식 x³+ax²+bx=0의 한 근이 3+2i일 때, a와 b를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하는 문제입니다.

① STEP A · 켤레근 구하기 — 계수가 실수이므로 한 근이 3+2i이면 켤레근 3−2i도 근입니다.

② STEP B · 근과 계수의 관계로 a, b 구하기 — x³+ax²+bx=0에서 x(x²+ax+b)=0이므로 x=0 또는 x²+ax+b=0. 이차방정식 x²+ax+b=0의 두 근이 3+2i, 3−2i이므로, 근과 계수의 관계에 의하여 (3+2i)+(3−2i)=−a → a=−6, (3+2i)(3−2i)=b → b=13.

③ STEP C · a, b를 두 근으로 하는 이차방정식 작성 — 이차항의 계수가 1이고 두 근이 −6, 13인 이차방정식은 (x+6)(x−13)=0이므로 x²−7x−78=0.

정답: ①번 (x²−7x−78=0).