마플시너지공수1답지 0927번 행복한 1등급 꼭짓점·축 조건 핵심 포인트

0927번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제로, 이차항의 계수가 1인 이차함수 y = f(x)의 꼭짓점이 직선 y = kx 위에 있고, f(x)와 직선 y = kx + 5가 만나는 두 점의 x좌표 α, β에 대해 축이 x = (α + β)/2 − 1/4일 때 |α − β| = p/q를 구하는 문제입니다. 꼭짓점 좌표를 매개변수로 놓고, 근과 계수의 관계와 축 조건을 연립하는 체계적 접근이 핵심입니다.

발상 포인트: ① f(x)를 꼭짓점 형태로 설정 — 꼭짓점을 (a, ka)라 하면 f(x) = (x − a)² + ka입니다. f(x) = kx + 5에서 (x − a)² + ka = kx + 5를 정리하면 x² − (2a + k)x + a² + ka − 5 = 0이고, 근과 계수의 관계로 α + β = 2a + k, αβ = a² + ka − 5입니다.

② 축 조건으로 k 결정 — 축 x = a = (α + β)/2 − 1/4이므로, 2a = α + β − 1/2 = (2a + k) − 1/2에서 k = 1/2입니다.

③ |α − β| 계산 — k = 1/2을 대입하면 α + β = 2a + 1/2, αβ = a² + a/2 − 5입니다. |α − β|² = (α + β)² − 4αβ = (2a + 1/2)² − 4(a² + a/2 − 5) = 4a² + 2a + 1/4 − 4a² − 2a + 20 = 81/4이므로, |α − β| = 9/2입니다. 따라서 p = 9, q = 2이고 p + q = 11입니다.