📌 m+n을 최대로 만들면서 거듭제곱근 식이 자연수가 되는 조건을 동시에 만족해야 합니다! 이 문제는 2019년 10월 고3 학평 나형 8번으로 출제된 수능 대비 TOUGH 기출입니다. m ≤ 135, n ≤ 9 범위에서 ⁿ√(2m) × √(n²) 또는 √(2m) × ⁿ√(n³) 형태의 식이 자연수가 되는 조건을 소인수 지수로 분석하고, 그 중 m+n이 최대가 되는 순서쌍을 찾는 유형입니다. … 더 읽기
📌 a, b, c를 유리수 지수로 바꾸면 k의 범위를 정확히 결정할 수 있습니다! 이 문제는 거듭제곱근 대소비교 × 자연수 k 개수 결합 TOUGH 유형으로, 최다빈출 왕중요 마크가 붙은 핵심 문제입니다. a = 5의 네제곱근 중 양의 실수 = ⁴√5 = 5^(1/4), b = k의 여섯제곱근 중 양의 실수 = ⁶√k = k^(1/6), c = 9의 … 더 읽기
📌 x+y 와 x−y 를 전개했을 때 세제곱 꼴이 보이지 않는다면? 인수분해 방향을 바꿔보세요! 이 문제는 세제곱 전개 공식 (a+b)³ 과 (a−b)³ 의 역방향 활용이 핵심인 TOUGH 유형입니다. x = a + 3a^(1/3)b^(2/3) 과 y = b + 3a^(2/3)b^(1/3) 을 더하고 빼면 각각 (a^(1/3)+b^(1/3))³ 과 (a^(1/3)−b^(1/3))³ 로 변환됩니다. 이후 (x+y)^(2/3) 과 (x−y)^(2/3) 을 전개하면 주어진 … 더 읽기
📌 조건식에서 a⁶ = 3을 뽑아내는 과정이 핵심입니다! 이 문제는 분모·분자에 적절한 거듭제곱을 곱해 음의 지수를 제거한 뒤, 공통인수를 약분하여 aⁿ의 값을 먼저 구하는 TOUGH 유형입니다. 첫 번째 조건식에 a⁵를 곱하면 a⁶ = 3임을 알 수 있고, 두 번째 식에도 같은 전략으로 a⁶을 곱하면 분자·분모가 약분되어 a⁸만 남습니다. a⁸ = (a⁶)^(4/3) = 3^(4/3) = ∛3⁴. … 더 읽기
📌 5²ˣ−5ˣ⁺¹ = −1을 어떻게 5ˣ+5⁻ˣ 꼴로 바꿀 수 있을까요? 이 문제는 양변을 5ˣ로 나누어 조건식을 5ˣ+5⁻ˣ 꼴로 변환한 뒤, 제곱·세제곱 전개를 적용하는 최다빈출 왕중요 TOUGH 유형입니다. 5²ˣ−5·5ˣ = −1의 양변을 5ˣ로 나누면 5ˣ−5 = −5⁻ˣ, 즉 5ˣ+5⁻ˣ = 5. 이후 제곱하면 5²ˣ+5⁻²ˣ = 23, 세제곱하면 5³ˣ+5⁻³ˣ = 110. 따라서 (110−5)/(23−2) = 105/21 = 5. … 더 읽기
📌 실생활 배터리 충전 문제, 지수함수 개념으로 바로 풀 수 있습니다! 이 문제는 2018년 3월 고3 학력평가 가형 8번 기출로, 배터리 충전 모델 Q(t) = Q₀(1−2^(−t/a))에서 Q(4)/Q(2) = 3/2 조건으로 상수 a를 구합니다. 핵심은 Q(4)/Q(2)를 정리하면 (1−(2^(−2/a))²)/(1−2^(−2/a)) 꼴이 되어 합차공식으로 약분하면 1+2^(−2/a) = 3/2가 되는 것입니다. 2^(−2/a) = 1/2 = 2⁻¹이므로 −2/a = −1, 즉 … 더 읽기
📌 x²−1 안에서 완전제곱식을 찾는 것이 승부처입니다! 이 문제는 59번의 패턴을 분모 2가 포함된 형태로 확장한 최다빈출 왕중요 TOUGH 유형입니다. x = (3^(1/4)+3^(-1/4))/2를 제곱하면 x² = (3^(1/2)+2+3^(-1/2))/4이므로 x²−1 = (3^(1/2)−2+3^(-1/2))/4 = ((3^(1/4)−3^(-1/4))/2)². 따라서 √(x²−1) = (3^(1/4)−3^(-1/4))/2이고, x+√(x²−1) = 3^(1/4). 이를 4제곱하면 (3^(1/4))⁴ = 3. 정답은 3입니다. 🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 60번 · 최다빈출 왕중요 … 더 읽기
📌 지수의 합이 2(ab+bc+ca)가 된다는 것을 눈치챘나요? 그게 이 문제의 전부입니다! 이 문제는 지수법칙 정리 + 항등식(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) 적용의 TOUGH 유형입니다. (2^a)^(b+c) × (2^b)^(c+a) × (2^c)^(a+b) 를 전개하면 지수의 합이 2(ab+bc+ca)가 됩니다. 여기에 a²+b²+c² = 12, (a+b+c)² = 10 조건을 연립하면 ab+bc+ca를 구할 수 있습니다. 정답은 ② 1/4입니다. 🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 25번 · TOUGH) … 더 읽기
📌 1/(n(n+1))을 부분분수로 쪼개면 50개 항의 곱이 순식간에 정리됩니다! 이 문제는 지수법칙 + 부분분수 분해를 결합한 최다빈출 왕중요 TOUGH 유형입니다. aₙ = 2^(1/(n(n+1))) 이므로 50개의 곱은 지수를 모두 더하는 것으로 귀결됩니다. 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) 부분분수 분해를 쓰면 합산이 망원급수처럼 앞뒤 항이 상쇄되어 결국 1 − 1/51 = 50/51 이 남습니다. 정답은 ③ 101입니다. … 더 읽기
📌 m과 n 두 변수가 모두 들어간 거듭제곱근 — 경우의 수를 어떻게 셀까요? 이 문제는 m의 각 값(1, 2, 3)에 따라 ᵐ√n이 자연수가 되는 n의 개수를 따로 세는 유형입니다. ᵐ√n = n^(1/m)이 자연수가 되려면 n이 m제곱수여야 한다는 핵심 조건을 적용하면 m=1, m=2, m=3 각 경우를 체계적으로 나열할 수 있습니다. 순서쌍 (m, n)의 총 개수 = … 더 읽기