빈출 유형
속도와 위치
두 점 사이의 거리의 최댓값
출제의도
이 문항은 원점에서 출발한 점의 위치가 속도를 0부터 t까지 정적분한 값이라는 사실을 이용해 두 점 P, Q의 위치를 구할 수 있는지 확인합니다. 이어서 두 점 사이의 거리를 위치의 차의 절댓값으로 나타내고, 미분을 이용해 닫힌구간에서 최댓값을 구합니다.
핵심은 거리 |x2(t)−x1(t)|에서 절댓값 안의 함수 g(t)의 극값과 구간 끝값을 모두 비교하는 것입니다. g(t)의 최댓값이 아니라 |g(t)|의 최댓값을 구해야 한다는 점이 이 문항의 함정입니다.
단계별 힌트
시각 t=0일 때 원점을 출발한 점의 시각 t에서의 위치는 속도를 0부터 t까지 정적분한 값입니다. 두 점 P, Q의 위치를 각각 t에 대한 식으로 먼저 나타내 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
수직선 위의 두 점 사이의 거리는 두 위치의 차의 절댓값입니다. 위치의 차를 g(t)=x2(t)−x1(t)로 놓으면 거리는 |g(t)|입니다.
g′(t)=v2(t)−v1(t)이므로, g′(t)=0이 되는 시각은 두 점의 속도가 같아지는 순간입니다. 이 시각에서 g(t)가 극값을 가집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
0≤t≤2에서 g(t)의 증가와 감소를 표로 정리한 뒤, 극값 g(1)과 끝값 g(0), g(2)를 구하세요. 이 값들 중 절댓값이 가장 큰 것이 두 점 사이의 거리의 최댓값입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A속도를 정적분해서 두 점의 위치 구하기
두 점 모두 원점에서 출발하므로 x1(t)=∫0t(−3s2+2s)ds=−t3+t2, x2(t)=∫0t(4s−5)ds=2t2−5t입니다.
STEP B거리를 절댓값 함수로 나타내기
두 점 사이의 거리는 f(t)=|x2(t)−x1(t)|=|t3+t2−5t|입니다. g(t)=t3+t2−5t로 놓으면 f(t)=|g(t)|입니다.
STEP Cg(t)의 증가와 감소 조사하기
g′(t)=3t2+2t−5=(3t+5)(t−1)이고 t≥0이므로 g′(t)=0에서 t=1입니다. 0≤t≤1에서 감소, 1≤t≤2에서 증가하며 g(0)=0, g(1)=−3, g(2)=2입니다.
STEP D절댓값을 씌워 최댓값 비교하기
|g(0)|=0, |g(1)|=3, |g(2)|=2이므로 f(t)는 t=1일 때 최댓값 3을 가집니다. 따라서 두 점 P, Q 사이의 거리의 최댓값은 3이고 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 상대속도로 바로 위치의 차 구하기
두 점의 위치를 각각 구하지 않고, 처음부터 속도의 차 v2(t)−v1(t)=3t2+2t−5를 하나의 “상대속도”로 보고 정적분할 수 있습니다. 두 점이 같은 곳(원점)에서 출발했으므로 위치의 차는 g(t)=∫0t(3s2+2s−5)ds=t3+t2−5t로 한 번에 나옵니다.
또한 상대속도 (3t+5)(t−1)의 부호만 보면 t=1 전에는 Q가 P보다 상대적으로 음의 방향으로 멀어지고, t=1 이후에는 다시 좁혀졌다가 역전된다는 움직임을 바로 읽을 수 있습니다. 즉, 두 점 사이의 거리가 극대가 되는 후보는 “두 점의 속도가 같아지는 순간(t=1)”과 “구간의 끝(t=2)”뿐이므로, 이 두 시각의 |g(t)|만 비교하면 됩니다. 적분을 한 번만 하므로 계산이 짧고 부호 실수도 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- g(t)의 최댓값을 구하면 g(2)=2가 나와 ②를 고르게 됩니다. 거리는 |g(t)|이므로 음의 극솟값 g(1)=−3도 절댓값을 씌워 반드시 비교해야 합니다.
- 극값만 보고 끝내면 안 됩니다. 닫힌구간 0≤t≤2에서의 최댓값이므로 구간의 끝값 g(0), g(2)도 함께 확인하세요.
- 위치를 구할 때 적분상수를 빠뜨리지 않도록, 두 점이 모두 원점에서 출발해 x1(0)=x2(0)=0이라는 조건을 먼저 적어 두세요.
- g′(t)=(3t+5)(t−1)=0에서 t=−53은 t≥0 조건에 맞지 않으므로 제외합니다.
엄선된 풀이 영상
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