TOUGH
역함수와 넓이
y=x 대칭 이용
출제의도
이 문항은 역함수의 식을 직접 구하지 않고, 함수와 역함수의 그래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 성질로 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다. 직선 x+y=3도 y=x에 수직이어서 y=x에 대하여 대칭이므로, 둘러싸인 부분 전체가 y=x를 기준으로 좌우가 똑같습니다.
증가함수에서 y=f(x)와 y=g(x)의 교점이 y=f(x)와 y=x의 교점과 같다는 사실로 교점을 찾고, 대칭인 절반의 넓이를 f(x)에 대한 적분으로 계산하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
g(x)는 삼차함수의 역함수라 식으로 적분하기 어렵습니다. y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 어떤 직선에 대하여 대칭인지, 그리고 직선 x+y=3은 그 직선에 대하여 어떻게 놓여 있는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=23x2≥0이므로 f(x)는 증가함수입니다. 이때 y=f(x)와 y=g(x)의 교점은 y=f(x)와 y=x의 교점과 같으므로 29x3+3=x를 풀면 됩니다. 정리하면 2x3−9x+27=0이고, x=−3을 대입해 보세요.
또 y=f(x)와 직선 x+y=3은 점 (0, 3)에서, y=g(x)와 직선 x+y=3은 이와 대칭인 점 (3, 0)에서 만납니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
둘러싸인 부분을 −3≤x≤0에서 곡선 y=f(x)와 직선 y=x 사이의 부분, 그와 대칭인 부분, 그리고 세 점 (0, 0), (0, 3), (3, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형으로 나누세요. 넓이는 2∫0−3{f(x)−x}dx에 삼각형의 넓이를 더한 값입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 452
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 곡선의 교점 구하기
f′(x)=23x2≥0이므로 f(x)는 증가함수이고, y=f(x)와 y=g(x)의 교점은 y=f(x)와 y=x의 교점과 같습니다. 2x3−9x+27=(x+3)(2x2−6x+9)=0에서 2x2−6x+9=2(x−32)2+92>0이므로 x=−3뿐입니다. 교점은 (−3, −3)입니다.
STEP B직선 x+y=3과의 교점과 대칭 구조 확인하기
y=f(x)와 직선 y=−x+3은 점 (0, 3)에서, y=g(x)와 직선 y=−x+3은 점 (3, 0)에서 만납니다. 두 곡선과 직선이 모두 y=x에 대하여 대칭이므로, 둘러싸인 부분도 y=x에 대하여 대칭입니다.
STEP C곡선 부분의 넓이 계산하기
−3≤x≤0에서 f(x)≥x이므로 ∫0−3{f(x)−x}dx=∫0−3(29x3−x+3)dx=[118x4−12x2+3x]−30=9입니다. 대칭인 부분까지 합하면 2×9=18입니다.
STEP D삼각형 넓이를 더하기
남은 부분은 세 점 (0, 0), (0, 3), (3, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형이고 넓이는 12×3×3=92입니다. 따라서 구하는 넓이는 18+92=452이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 세 꼭짓점 삼각형에 활꼴 두 개 더하기
둘러싸인 부분의 세 꼭짓점 (−3, −3), (0, 3), (3, 0)을 이은 삼각형을 기본 도형으로 잡을 수도 있습니다. 이 삼각형의 넓이는 12|3×3−6×6|=272입니다.
곡선 y=f(x)는 두 점 (−3, −3), (0, 3)을 잇는 현 y=2x+3보다 위에 있고, f(x)−(2x+3)=29x(x+3)(x−3)이므로 ∫0−3{f(x)−(2x+3)}dx=[118x4−x2]−30=92입니다. y=g(x) 쪽 활꼴도 대칭이므로 넓이는 272+2×92=452입니다. 영역을 나누는 방법이 달라도 같은 값이 나오므로 검산용으로 쓰기 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- g(x)를 세제곱근이 들어간 식으로 직접 구해 적분하려고 하면 계산이 길어지고 실수가 늘어납니다. 역함수 문제는 y=x 대칭으로 f(x)의 적분으로 옮기는 것이 기본입니다.
- 교점을 그림만 보고 짐작하지 마세요. 2x3−9x+27=0을 인수분해하고, 이차식 2x2−6x+9의 판별식이 음수여서 다른 교점이 없다는 것까지 확인해야 합니다.
- “증가함수이면 f와 g의 교점은 y=x 위에 있다”는 성질은 증가함수에서만 성립합니다. f′(x)≥0을 먼저 확인하는 습관을 들이세요.
- 대칭을 이용해 2배 할 때 삼각형 92까지 2배 하면 안 됩니다. 삼각형 (0, 0), (0, 3), (3, 0)은 이미 y=x 양쪽을 모두 포함한 넓이입니다.
- ∫0−3{f(x)−x}dx에서 −3을 대입할 때 x4, x2, x의 부호를 하나씩 확인하세요. 0에서의 값에서 −3에서의 값을 빼는 순서도 헷갈리기 쉽습니다.
엄선된 풀이 영상
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