빈출 유형
두 곡선 사이의 넓이
교점과 위아래 판단
출제의도
이 문항은 두 곡선의 교점을 구하고, 교점으로 나뉜 각 구간에서 어느 곡선이 위에 있는지 판단해 (위의 곡선)−(아래의 곡선)을 적분할 수 있는지 확인합니다.
두 식의 차 x3+x2−2x=x(x+2)(x−1)의 부호를 조사하는 것이 출발점입니다. 교점이 세 개라 둘러싸인 부분이 두 조각으로 나뉘고, 두 조각에서 위아래가 서로 바뀐다는 점이 핵심입니다.
단계별 힌트
두 곡선이 만나는 점의 x좌표는 두 식을 같게 놓은 방정식의 해입니다. 또 두 곡선 사이의 넓이는 각 구간에서 위에 있는 곡선의 식에서 아래에 있는 곡선의 식을 뺀 것을 적분해 구합니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x3+2x2−x=x2+x에서 x3+x2−2x=0이고, 좌변은 x(x+2)(x−1)로 인수분해됩니다.
차 h(x)=x(x+2)(x−1)의 부호를 구간별로 조사하면 어느 곡선이 위에 있는지 알 수 있습니다. 예를 들어 x=−1, x=12을 대입해 부호를 확인해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
−2≤x≤0에서는 h(x)≥0, 0≤x≤1에서는 h(x)≤0입니다. 따라서 ∫0−2h(x)dx와 ∫10{−h(x)}dx를 각각 구해 더하면 됩니다. 두 구간을 한 번에 적분하지 않도록 주의하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 3712
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A교점의 x좌표 구하기
x3+2x2−x=x2+x에서 x3+x2−2x=x(x+2)(x−1)=0이므로 x=−2 또는 x=0 또는 x=1입니다.
STEP B구간별로 위아래 판단하기
−2≤x≤0에서는 x3+2x2−x≥x2+x, 0≤x≤1에서는 x3+2x2−x≤x2+x입니다. 즉 교점 x=0을 기준으로 위아래가 바뀝니다.
STEP C구간별 정적분을 더하기
넓이는 ∫0−2(x3+x2−2x)dx+∫10(−x3−x2+2x)dx=83+512=3712이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 차함수 하나와 부정적분 하나로
두 곡선 사이의 넓이는 차함수 h(x)=x3+x2−2x=x(x+2)(x−1)의 그래프와 x축 사이의 넓이와 같습니다. 두 곡선을 모두 그릴 필요 없이, 최고차항의 계수가 양수이고 x축과 −2, 0, 1에서 만나는 삼차함수 하나만 그리면 (−2, 0)에서는 x축 위, (0, 1)에서는 x축 아래라는 것이 바로 보입니다.
h(x)의 부정적분 H(x)=14x4+13x3−x2를 하나만 만들면 넓이는 {H(0)−H(−2)}+{H(0)−H(1)}=2H(0)−H(−2)−H(1)입니다. H(0)=0, H(−2)=−83, H(1)=−512이므로 넓이는 83+512=3712입니다. 대입할 값이 세 개로 정리되어 계산이 깔끔해집니다.
실수를 줄이는 전략
- x3+x2−2x=0에서 양변을 x로 나누면 x=0이라는 교점을 잃어버립니다. 반드시 x로 묶어 인수분해하세요.
- −2부터 1까지 x3+x2−2x를 한 번에 적분하면 위아래가 바뀐 부분이 상쇄되어 94이 나옵니다. 교점마다 구간을 나누는 것이 원칙입니다.
- H(−2)=4−83−4=−83에서 (−2)3=−8의 부호를 놓치기 쉽습니다. 음수를 대입할 때는 괄호를 쓰고 한 항씩 계산하세요.
- 위아래 판단이 헷갈리면 각 구간 안의 쉬운 수(x=−1, x=1/2)를 두 식에 대입해 크기를 직접 비교하면 확실합니다.