빈출 유형
곡선과 x축 사이의 넓이
극값과 넓이의 비
출제의도
이 문항은 도함수로 극대가 되는 x=k를 찾고, 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분을 직선 x=k가 나눈 두 부분의 넓이를 정적분으로 구할 수 있는지 확인합니다.
f(x)=3x(x−2)2로 인수분해해 곡선이 원점에서 x축과 만나고 x=2에서 x축에 접한다는 사실을 먼저 파악하는 것이 출발점입니다. 그러면 둘러싸인 구간이 0≤x≤2로 정해지고, 이 구간을 x=k에서 둘로 나누어 계산하면 됩니다.
단계별 힌트
극대가 되는 x의 값은 f′(x)=0인 점 중에서 f′(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 곳입니다. 또 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분의 범위는 f(x)=0의 해로 정해집니다. 두 가지를 각각 구해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=9x2−24x+12=3(3x−2)(x−2)이므로 증감표를 그려 극대인 점을 찾습니다.
f(x)=3x(x−2)2이므로 곡선은 x=0에서 x축과 만나고 x=2에서 x축에 접합니다. 따라서 0≤x≤2에서 f(x)≥0이고, 넓이는 정적분 값 그대로 구할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
부정적분 34x4−4x3+6x2 하나로 0부터 2까지, 0부터 k까지의 정적분을 계산한 뒤 빼면 k부터 2까지의 넓이가 나옵니다. S1≤S2라는 조건으로 두 넓이 중 어느 것이 S1인지 정하고, S2S1을 기약분수로 나타내세요.
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정답 27
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수로 k 구하기
f′(x)=3(3x−2)(x−2)=0에서 x=23 또는 x=2이고, x=23의 좌우에서 f′(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 k=23입니다.
STEP B둘러싸인 구간 확인 후 전체 넓이와 한쪽 넓이 구하기
f(x)=3x(x−2)2이므로 둘러싸인 구간은 0≤x≤2입니다. ∫20f(x)dx=4, ∫2/30f(x)dx=4427이므로 나머지 부분의 넓이는 4−4427=6427입니다.
STEP C넓이의 비를 기약분수로 나타내기
S1=4427, S2=6427이므로 S2S1=6444=1611입니다. p=11, q=16이므로 p+q=27입니다.
1등급 다른 풀이 · 삼차함수 넓이 공식으로 전체 넓이를 바로
곡선 y=a(x−α)(x−β)2(a≠0)가 x=α에서 x축과 만나고 x=β에서 x축에 접할 때, 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 |a|(β−α)412입니다. 이 문항에서는 a=3, α=0, β=2이므로 전체 넓이는 3×2412=4로 적분 계산 없이 바로 나옵니다.
따라서 실제로 적분해야 하는 것은 ∫2/30f(x)dx=4427 하나뿐이고, 나머지는 4−4427=6427로 뺄셈만 하면 됩니다. 계산량이 절반으로 줄어 검산할 여유가 생깁니다. 이 공식은 정적분으로 직접 유도해 두면 시험장에서 믿고 쓸 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- k는 극대가 되는 x의 값입니다. f′(x)=0의 해 중 x=2는 극소이면서 둘러싸인 구간의 끝점이므로 넓이를 나누는 직선이 될 수 없습니다. 증감표로 극대, 극소를 반드시 구분하세요.
- ∫2/30f(x)dx를 계산할 때 34×1681=427, 4×827=3227, 6×49=7227처럼 분모를 27로 맞춘 뒤 더하면 분수 계산 실수가 줄어듭니다.
- 6444를 약분하지 않고 p=44, q=64로 쓰면 틀립니다. 조건에 p와 q가 서로소라고 했으므로 반드시 1611까지 약분합니다.
- 넓이를 구하기 전에 0≤x≤2에서 f(x)≥0인지 확인하는 습관을 들이세요. 이 구간에서 f(x)=3x(x−2)2≥0이므로 정적분 값이 곧 넓이입니다.