빈출 유형
정적분으로 정의된 함수의 극한
피적분함수 속 x 분리
출제의도
이 문항은 정적분으로 정의된 함수의 극한 공식 limx→a1x−a∫xaf(t)dt=f(a)를 활용할 수 있는지 확인합니다. 다만 피적분함수 (4x−t)(t2+at) 안에 적분변수 t가 아닌 x가 섞여 있어 공식을 바로 쓸 수 없다는 점이 이 문항의 함정입니다.
x를 적분 기호 밖으로 꺼내 식을 두 개의 정적분으로 나누고, 분모 x2−9를 (x−3)(x+3)으로 쪼개 각각 공식의 꼴을 만드는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
x→3일 때 분모 x2−9도 0으로, 적분 ∫x3(…)dt도 0으로 갑니다. 이런 꼴에서는 limx→31x−3∫x3f(t)dt=f(3)을 떠올려 보세요. 그런데 이 공식을 쓰려면 피적분함수에 x가 없어야 합니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
적분변수는 t이므로 x는 적분할 때 상수처럼 취급됩니다. (4x−t)(t2+at)=4x(t2+at)−(t3+at2)으로 나누면 4x를 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.
분모는 x2−9=(x−3)(x+3)으로 인수분해해, 1x−3은 적분과 짝지어 공식에 쓰고 1x+3은 따로 극한을 구합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
첫째 항은 4xx+3의 극한과 t2+at에 t=3을 대입한 값의 곱, 둘째 항은 1x+3의 극한과 t3+at2에 t=3을 대입한 값의 곱입니다. 두 값의 차를 a에 대한 식으로 정리해 18과 같다고 놓으세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax를 적분 밖으로 꺼내고 분모 쪼개기
(4x−t)(t2+at)=4x(t2+at)−(t3+at2)이고 x2−9=(x−3)(x+3)이므로 주어진 식은
limx→3{4xx+3×1x−3∫x3(t2+at)dt−1x+3×1x−3∫x3(t3+at2)dt}로 바뀝니다.
STEP B정적분으로 정의된 함수의 극한 공식 적용하기
limx→34xx+3=2, limx→31x+3=16이고, 공식에 의해 두 적분 부분의 극한은 각각 9+3a, 27+9a입니다.
따라서 극한값은 2(9+3a)−16(27+9a)=92a+272입니다.
STEP Ca 구하기
92a+272=18에서 9a+27=36이므로 a=1입니다. 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 미분계수의 정의로 한 번에
F(x)=∫x3(4x−t)(t2+at)dt로 놓으면 F(3)=0이므로 주어진 극한은 limx→3F(x)−F(3)x−3×1x+3=F′(3)6입니다.
g(t)=t2+at, G(x)=∫x3g(t)dt라 하면 t3+at2=tg(t)이므로 F(x)=4xG(x)−∫x3tg(t)dt입니다. 곱의 미분법으로 F′(x)=4G(x)+4xg(x)−xg(x)=4G(x)+3xg(x)이고, G(3)=0이므로 F′(3)=9g(3)=9(9+3a)입니다.
따라서 9(9+3a)6=18에서 9+3a=12, a=1입니다. t3+at2을 tg(t)로 묶어 보면 두 적분이 같은 뿌리에서 나왔다는 것이 보이고, 계산이 한 줄로 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 피적분함수에 x가 있는 상태에서 공식을 그대로 적용해 t와 x에 모두 3을 대입하는 것은 근거 없는 계산입니다. 이 문항에서는 적분의 아래끝이 3이라 값이 어긋나지 않지만, ddx∫x3(4x−t)g(t)dt를 구하는 문항에서는 바로 틀린 답이 나옵니다. x를 적분 기호 밖으로 꺼내는 과정을 습관으로 만드세요.
- 분모 x2−9에서 x−3만 공식에 쓰고 남은 1x+3을 빠뜨리는 실수가 많습니다. 두 항 모두에 16에 해당하는 인수가 붙는지 확인하세요.
- F(x)를 직접 미분할 때 4x∫x3g(t)dt에 곱의 미분법을 쓰지 않으면 4G(x) 항을 놓칩니다. x=3에서는 G(3)=0이라 사라지지만, 다른 점에서는 결과가 달라집니다.
- t=3을 대입할 때 t3+at2=27+9a, t2+at=9+3a를 서로 바꿔 쓰지 않도록 어느 적분에 어느 식이 짝지어졌는지 표시해 두세요.
엄선된 풀이 영상
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