수능특강 수학Ⅱ 부정적분과 정적분 Level 2 7번

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07
빈출 유형
06 부정적분과 정적분
극한 조건으로 다항함수 결정
대칭 구간의 정적분

출제의도

이 문항은 두 가지를 차례로 확인합니다. 먼저 x→∞일 때의 극한 조건을 해석해 다항함수 f(x)의 꼴을 정할 수 있는지, 다음으로 적분 구간이 −2부터 2까지로 대칭일 때 홀수 차수 항의 정적분이 0이 되는 성질을 활용할 수 있는지를 봅니다.

극한 조건만으로는 상수항이 정해지지 않는다는 점을 알아차리고 이를 미지수 k로 남겨 두는 것이 출발점이며, 정적분 조건은 바로 이 k를 결정하는 역할을 합니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.
힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

분모가 x인데 x→∞일 때 극한값이 −2라는 0이 아닌 수로 수렴합니다. 이렇게 되려면 분자 f(x)−x3은 몇 차 다항식이어야 하고, 최고차항의 계수는 얼마여야 할지 생각해 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

f(x)−x3은 최고차항의 계수가 −2인 일차식이므로 f(x)=x3−2x+k(k는 상수)로 놓을 수 있습니다. 극한 조건만으로는 상수항 k가 정해지지 않으므로, 남은 정적분 조건으로 k를 구해야 합니다.

적분 구간이 −2부터 2까지 대칭입니다. 이런 구간에서는 x, x3처럼 홀수 차수 항의 정적분이 0이 되고, 짝수 차수 항과 상수항만 남아 0부터 2까지 적분한 값의 2배가 됩니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

(x+1)(x3−2x+k)를 전개한 뒤 짝수 차수 항과 상수항만 남기면 x4−2x2+k입니다. 2∫20(x4−2x2+k)dx를 계산해 4와 같다고 놓으면 k가 나오고, 구하는 값 f(0)은 곧 k입니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ④ 715

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 부정적분과 정적분 Level 2 7번 상세 해설 1
수능특강 수학Ⅱ 부정적분과 정적분 Level 2 7번 상세 해설 2

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A극한 조건으로 f(x)의 꼴 정하기

limx→∞f(x)−x3x=−2이므로 f(x)−x3은 최고차항의 계수가 −2인 일차식입니다. 따라서 f(x)=x3−2x+k(k는 상수)로 놓습니다.

STEP B대칭 구간 성질로 정적분 계산하기

(x+1)(x3−2x+k)=x4+x3−2x2+(k−2)x+k에서 홀수 차수 항은 −2부터 2까지 적분하면 0이므로

∫2−2(x+1)f(x)dx=2∫20(x4−2x2+k)dx=2(325−163+2k)=3215+4k입니다.

STEP Ck를 구해 f(0) 계산하기

3215+4k=4에서 4k=2815이므로 k=715입니다. f(0)=k=715이므로 정답은 ④입니다.

1등급 다른 풀이 · 전개하기 전에 홀짝부터 나누기

f(x)=g(x)+k, g(x)=x3−2x로 나누어 보면 g(x)는 홀수 차수 항만 있는 함수(기함수)입니다. 이때 (x+1)f(x)=xg(x)+g(x)+kx+k에서 xg(x)=x4−2x2은 짝수 차수만 있고, g(x)와 kx는 홀수 차수만 있으며, k는 상수입니다.

따라서 적분에 살아남는 것은 xg(x)와 k뿐이고, ∫2−2(x+1)f(x)dx=2∫20(x4−2x2)dx+4k로 곧바로 정리됩니다. 네 줄짜리 전개를 생략할 수 있어, 피적분함수가 더 복잡한 문항에서도 계산 실수를 크게 줄일 수 있습니다. 이 방법의 핵심은 “x를 곱하면 홀수 차수는 짝수 차수로, 짝수 차수는 홀수 차수로 바뀐다”는 점입니다.

실수를 줄이는 전략

  • 극한 조건에서 f(x)=x3−2x로 끝내 버리면 상수항을 잃습니다. 분모가 x이므로 상수항은 극한값에 영향을 주지 않는다는 점을 기억하고, 반드시 +k를 붙여 두세요.
  • f(x)에 x2항이 있으면 f(x)−x3x이 x→∞일 때 발산합니다. 그래서 f(x)의 이차항 계수는 0이라는 것까지 극한 조건에 담겨 있습니다.
  • 대칭 구간에서 0이 되는 것은 홀수 차수 항입니다. 상수항 k는 짝수 차수(0차)로 취급되어 사라지지 않고 2∫20k dx=4k로 남습니다.
  • 325−163=1615에 앞의 2를 곱하는 것을 빠뜨리기 쉽습니다. 계수 2를 괄호 밖에 끝까지 유지하세요.
  • 구하는 값은 f(0)이고 f(0)=k입니다. k를 구한 뒤 다른 값을 대입하는 헛수고를 하지 않도록 무엇을 묻는지 다시 확인하세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 이 문항 풀이 구간(1:53:26)부터 재생됩니다.

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