수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(1) Level 2 3번

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03
빈출 유형
04 도함수의 활용(1)
곡선 밖의 점에서 그은 접선
접선의 개수와 실근의 개수

출제의도

이 문항은 “한 점에서 곡선에 그은 접선의 개수”를 “접점의 x좌표 t에 대한 방정식의 서로 다른 실근의 개수”로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 접점을 (t, f(t))로 두고 접선의 방정식에 점 (−2, 1)을 대입하면 t에 대한 삼차방정식이 만들어집니다.

이 삼차방정식은 k의 값에 관계없이 t=0을 근으로 가집니다. 따라서 남은 이차방정식이 0이 아닌 실근을 갖지 않을 조건을 판별식으로 정리하는 것이 핵심입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.
힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

접점을 모르므로 접점을 (t, 2t3+kt2+1)로 놓고 접선의 방정식을 세운 뒤, 이 접선이 점 (−2, 1)을 지난다는 조건을 대입해 보세요. 삼차함수의 그래프에서는 접점이 다르면 접선도 다르므로, 접선의 개수는 t의 값의 개수와 같습니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

대입해서 정리하면 4t3+(k+12)t2+4kt=0이 되고, 모든 항에 t가 있으므로 t{4t2+(k+12)t+4k}=0으로 묶입니다.

즉 t=0은 k의 값에 관계없이 항상 근입니다. 접선이 1개이려면 나머지 이차방정식이 t=0 말고 다른 실근을 가지면 안 됩니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

이차방정식 4t2+(k+12)t+4k=0이 0을 중근으로 가질 수 있는지 먼저 확인하세요. 불가능하다면 이 이차방정식은 허근을 가져야 하므로 판별식 D<0을 풀면 됩니다. 마지막에 범위 안의 정수 k의 개수를 세는 것도 잊지 마세요.

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정답 31

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(1) Level 2 3번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A접점을 t로 놓고 접선의 방정식 세우기

f(x)=2x3+kx2+1이면 f′(x)=6x2+2kx입니다. 접점이 (t, 2t3+kt2+1)인 접선은 y−(2t3+kt2+1)=(6t2+2kt)(x−t)입니다.

STEP B점 (−2, 1)을 대입해 t에 대한 방정식 만들기

1−(2t3+kt2+1)=(6t2+2kt)(−2−t)를 정리하면 4t3+(k+12)t2+4kt=0, 즉 t{4t2+(k+12)t+4k}=0입니다. 접선의 개수가 1이려면 이 방정식의 서로 다른 실근이 1개여야 합니다.

STEP C이차방정식이 허근을 가질 조건 풀기

이차방정식이 0을 중근으로 가지려면 k+12=0과 4k=0이 동시에 성립해야 하는데, 이런 k는 없습니다. 따라서 이차방정식은 허근을 가져야 하고, D=(k+12)2−64k<0에서 k2−40k+144<0, (k−4)(k−36)<0, 4<k<36입니다. 정수 k는 5, 6, …, 35이므로 개수는 31입니다.

1등급 다른 풀이 · 접선 y=1을 먼저 알아보기

f(x)−1=2x3+kx2=x2(2x+k)이므로, 방정식 f(x)=1은 x=0을 중근으로 가집니다. 즉 곡선 y=f(x)는 k의 값에 관계없이 점 (0, 1)에서 직선 y=1에 접합니다. 점 (−2, 1)은 직선 y=1 위에 있으므로 y=1은 항상 그을 수 있는 접선이고, 이것이 방정식에서 t=0이 항상 근으로 나오는 이유입니다.

따라서 문제는 “y=1 이외의 접선이 없도록 하라”는 뜻이 되고, 곧바로 이차방정식 4t2+(k+12)t+4k=0이 실근을 갖지 않을 조건만 따지면 됩니다. 경계값도 확인해 보면 k=4일 때 이차방정식은 4(t+2)2=0, k=36일 때 4(t+6)2=0이 되어 t=0 말고 다른 접점이 하나 더 생기므로 접선이 2개입니다. 특히 k=4이면 f(−2)=4k−15=1이 되어 점 (−2, 1)이 곡선 위의 점이 된다는 것도 확인할 수 있습니다. 경계값 두 개가 모두 제외되므로 4<k<36에서 등호가 빠지는 것이 맞습니다.

실수를 줄이는 전략

  • 접선의 개수는 삼차방정식의 근의 개수(중근을 두 번 센 개수)가 아니라 서로 다른 실근의 개수입니다. 중근이 있는 경우를 따로 세지 않도록 주의하세요.
  • t=0이 이미 근이라는 사실을 놓치고 “이차방정식이 중근을 가지면 된다”고 생각해 D=0으로 푸는 실수가 많습니다. D=0이면 t=0과 그 중근을 합쳐 서로 다른 실근이 2개가 됩니다.
  • (6t2+2kt)(−2−t)를 전개할 때 −6t3−(12+2k)t2−4kt의 부호를 하나라도 틀리면 t2의 계수가 달라져 판별식 전체가 틀립니다. 전개 후 이항까지 한 번 더 확인하세요.
  • 4<k<36을 만족시키는 정수는 5부터 35까지이므로 35−5+1=31개입니다. 끝값을 포함해 32개나 33개로 세지 않도록 하세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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