빈출 유형
사잇값 정리
롤의 정리
극값의 위치
출제의도
이 문항은 함숫값의 부호 조건에서 근의 위치를 읽어 내고, 두 근 사이에 도함수가 0이 되는 점이 있다는 롤의 정리로 극값의 위치 범위를 좁힐 수 있는지 확인합니다.
f(0)=b>0이라는 사실로 두 조건을 f(1)f(2)<0, f(2)f(3)<0으로 단순화하는 것이 출발점입니다. 이어서 f′(x)=0의 양의 근 23a가 1과 3 사이에 있어야 한다는 조건으로 자연수 a의 후보를 좁히고, 각 경우에 b를 확인합니다.
단계별 힌트
두 조건에 모두 f(0)이 들어 있습니다. f(0)의 값을 먼저 구해 부호를 확인하면, 조건 (가), (나)를 f(0)이 빠진 더 간단한 부등식으로 바꿀 수 있습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(1)f(2)<0이면 사잇값 정리에 의해 1과 2 사이에 근 d1이, f(2)f(3)<0이면 2와 3 사이에 근 d2가 있습니다.
f(d1)=f(d2)=0이므로 롤의 정리에 의해 d1과 d2 사이에 f′(c)=0인 c가 있습니다. f′(x)=x(3x−2a)에서 양의 근은 23a이므로, 이 값이 어느 범위에 있어야 하는지 생각해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
1<23a<3에서 자연수 a의 후보는 세 개입니다. 각 a에 대해 f(1)f(2)<0과 f(2)f(3)<0을 b에 대한 이차부등식으로 풀고, 두 조건을 모두 만족시키는 자연수 b가 있는 경우를 찾으세요. 마지막으로 구하는 값이 f(1)이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af(0)의 부호로 조건 단순화하기
b가 자연수이므로 f(0)=b>0입니다. 따라서 조건 (가), (나)는 각각 f(1)f(2)<0, f(2)f(3)<0과 같습니다.
STEP B근의 위치와 롤의 정리로 a의 후보 좁히기
사잇값 정리에 의해 1<d1<2, 2<d2<3인 근이 있고, 롤의 정리에 의해 d1<c1<d2인 f′(c1)=0의 근이 있습니다. f′(x)=x(3x−2a)의 양의 근이 c1=23a이므로 1<23a<3, 즉 32<a<92이고, a=2, 3, 4입니다.
STEP C경우별로 b를 확인하고 f(1) 구하기
a=2이면 f(1)f(2)=b(b−1)<0에서 0<b<1이라 자연수 b가 없습니다. a=4이면 f(2)f(3)=(b−8)(b−9)<0에서 8<b<9라 역시 없습니다. a=3이면 (b−2)(b−4)<0, b(b−4)<0에서 b=3입니다. 따라서 f(x)=x3−3x2+3이고 f(1)=1−3+3=1이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 부호 배열을 먼저 확정하고 연립부등식으로
f(1)과 f(2), f(2)와 f(3)의 부호가 각각 반대이므로 f(1), f(3)은 같은 부호이고 f(2)만 다른 부호입니다. 만약 f(2)>0이라면 x=0, 1, 2, 3에서의 부호가 +, −, +, −가 되고, x가 충분히 크면 f(x)>0이므로 부호가 네 번 바뀌어 근이 네 개 이상 생깁니다. 삼차함수에서는 불가능하므로 f(2)<0, f(1)>0, f(3)>0으로 확정됩니다.
이제 세 부등식 1−a+b>0, 8−4a+b<0, 27−9a+b>0을 풉니다. 앞의 두 식에서 a−1<b<4a−8이므로 a>73이고, 뒤의 두 식에서 9a−27<b<4a−8이므로 a<195입니다. 자연수 a는 3뿐이고, 이때 2<b<4에서 b=3입니다. 롤의 정리나 경우 나누기 없이 부등식 세 개로 끝나며, 답은 f(1)=1−3+3=1입니다.
실수를 줄이는 전략
- f(0)=b>0임을 확인하지 않고 조건을 그대로 두면 세 함숫값의 곱을 다뤄야 해서 복잡해집니다. b가 자연수라는 조건이 f(0)의 부호를 정해 준다는 점을 먼저 활용하세요.
- 롤의 정리로 얻는 범위는 d1<c1<d2입니다. c1이 1과 2 사이에 있다고 좁게 잡으면 a=3을 놓치게 되니, 확실한 범위인 1<c1<3을 쓰세요.
- f′(x)=0의 근은 x=0과 x=23a 두 개입니다. c1은 1보다 큰 수이므로 x=0이 아니라 양의 근 23a라는 점을 분명히 하세요.
- a=3일 때 조건 (가)만 확인하면 b의 범위가 2<b<4로 끝나 보이지만, 조건 (나)도 함께 만족시키는지 반드시 확인하세요.
- 구하는 값은 a나 b가 아니라 f(1)입니다. a=b=3을 구한 뒤 선택지 ③ 3을 고르는 실수가 잦으니 마지막에 f(1)을 계산하세요.
엄선된 풀이 영상
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