빈출 유형
곱의 미분법
합과 곱으로 차 구하기
출제의도
이 문항은 함수의 곱의 미분법 {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)를 x=1에서 정확히 적용할 수 있는지 확인합니다. 두 곡선이 점 (1, 5)에서 만난다는 조건으로 f(1)=g(1)=5를 얻는 것이 출발점입니다.
곱의 미분계수 조건에서 f′(1)+g′(1)을 구하면, 이미 주어진 f′(1)g′(1)과 함께 “합과 곱을 알 때 차를 구하는” 곱셈공식 변형 문제로 바뀝니다.
단계별 힌트
두 곡선이 점 (1, 5)에서 만난다는 것은 f(1)과 g(1)이 각각 얼마라는 뜻일까요? 또 함수 f(x)g(x)의 x=1에서의 미분계수를 곱의 미분법으로 쓰면 어떤 식이 되는지 적어 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(1)=g(1)=5이므로 {f(x)g(x)}′의 x=1에서의 값은 f′(1)×5+5×g′(1)=5{f′(1)+g′(1)}입니다. 이 값이 15라는 조건에서 f′(1)+g′(1)을 구할 수 있습니다.
합과 곱을 알면 곱셈공식 (α−β)2=(α+β)2−4αβ로 차의 제곱을 구할 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
α=f′(1), β=g′(1)로 놓고 (α−β)2의 값을 계산하세요. 제곱근을 취할 때는 ± 두 값이 나오므로 조건 f′(1)>g′(1)로 부호를 결정해야 합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A교점 조건 번역하기
두 곡선이 점 (1, 5)에서 만나므로 f(1)=5, g(1)=5입니다.
STEP B곱의 미분법으로 f′(1)+g′(1) 구하기
h(x)=f(x)g(x)로 놓으면 h′(1)=f′(1)g(1)+f(1)g′(1)=5{f′(1)+g′(1)}=15이므로 f′(1)+g′(1)=3입니다.
STEP C합과 곱으로 차 구하기
{f′(1)−g′(1)}2={f′(1)+g′(1)}2−4f′(1)g′(1)=9−4×(−10)=49이고, f′(1)>g′(1)이므로 f′(1)−g′(1)=√49=7입니다.
1등급 다른 풀이 · 이차방정식으로 f′(1), g′(1)을 직접 구하기
f′(1)+g′(1)=3, f′(1)g′(1)=−10이므로 근과 계수의 관계에 의해 f′(1)과 g′(1)은 이차방정식 t2−3t−10=0의 두 근입니다.
(t−5)(t+2)=0에서 t=5 또는 t=−2이고, f′(1)>g′(1)이므로 f′(1)=5, g′(1)=−2입니다. 따라서 f′(1)−g′(1)=5−(−2)=7입니다. 두 값을 모두 구해 두면 검산도 쉽습니다. 5+(−2)=3, 5×(−2)=−10으로 두 조건을 모두 만족하는지 바로 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- {f(x)g(x)}′를 f′(x)g′(x)로 착각하면 안 됩니다. 곱의 미분은 “앞 미분×뒤 그대로 + 앞 그대로×뒤 미분”의 두 항입니다.
- 교점 조건에서 f(1)=5만 쓰고 g(1)=5를 놓치면 식을 세울 수 없습니다. “두 곡선이 한 점에서 만난다”는 두 함숫값이 모두 그 점의 y좌표와 같다는 뜻입니다.
- 9−4×(−10)을 9−40으로 계산해 음수가 나오는 부호 실수가 많습니다. −4×(−10)=+40이므로 49입니다.
- (f′(1)−g′(1))2=49에서 ±7 두 값이 나옵니다. 문제의 단서 f′(1)>g′(1)을 반드시 확인해 7을 고르세요.
엄선된 풀이 영상
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