빈출 유형
곱의 미분법
미분계수의 정의와 극한
출제의도
이 문항은 “곡선 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기”가 곧 미분계수 f′(a)라는 사실과 곱의 미분법을 함께 쓸 수 있는지 확인합니다. 접선의 기울기 조건에서 f′(2)를 구하고, g′(x)를 전개해 극한을 계산합니다.
핵심은 곡선이 점 (2, 0)을 지난다는 조건, 즉 f(2)=0입니다. 이 덕분에 f(x)x−2를 f(x)−f(2)x−2로 바꿔 미분계수의 정의로 처리할 수 있습니다.
단계별 힌트
점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기가 a3−2a+1이라는 말은 f′(a)=a3−2a+1이라는 뜻입니다. 또 g(x)=(x2−2x)f(x)는 두 함수의 곱이므로 곱의 미분법으로 g′(x)를 먼저 구해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
g′(x)=(2x−2)f(x)+(x2−2x)f′(x)=2(x−1)f(x)+x(x−2)f′(x)입니다. 이 식을 (x−1)(x−2)로 나누면 두 항으로 분리되어 약분이 됩니다.
분리한 첫째 항 2f(x)x−2는 f(2)=0을 이용해 f(x)−f(2)x−2 꼴로 바꾸면 미분계수의 정의가 보입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
첫째 항의 극한은 2f′(2), 둘째 항 xf′(x)x−1은 x=2를 그대로 대입하면 됩니다. 두 결과를 f′(2)로 정리한 뒤 f′(2)=23−2×2+1의 값을 넣으세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 20
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 f(2), f′(2)로 번역하기
곡선이 점 (2, 0)을 지나므로 f(2)=0이고, 접선의 기울기 조건에서 f′(a)=a3−2a+1이므로 f′(2)=8−4+1=5입니다.
STEP B곱의 미분법으로 g′(x) 구하고 두 항으로 나누기
g′(x)=2(x−1)f(x)+x(x−2)f′(x)이므로 g′(x)(x−1)(x−2)=2f(x)x−2+xf′(x)x−1입니다.
STEP C미분계수의 정의로 극한 계산하기
limx→22f(x)x−2=2limx→2f(x)−f(2)x−2=2f′(2)이고, limx→2xf′(x)x−1=2f′(2)입니다. 따라서 극한값은 4f′(2)=4×5=20입니다.
1등급 다른 풀이 · 인수정리로 (x−2)²을 먼저 드러내기
f(2)=0이므로 인수정리에 의해 f(x)=(x−2)p(x) (p(x)는 다항식)로 놓을 수 있습니다. 이때 f′(x)=p(x)+(x−2)p′(x)이므로 f′(2)=p(2)=5입니다.
그러면 g(x)=x(x−2)·(x−2)p(x)=x(x−2)2p(x)가 되어 g(x)는 (x−2)2을 인수로 가집니다. 미분하면 g′(x)=(x−2){(x−2)p(x)+2xp(x)+x(x−2)p′(x)}처럼 (x−2)가 그대로 남으므로 분모의 x−2와 약분됩니다. 약분 후 x=2를 대입하면 0+4p(2)+02−1=4p(2)=20입니다. “g(x)가 (x−2)2을 인수로 가지면 g′(x)는 (x−2)를 인수로 가진다”는 구조를 알면 0/0 꼴이 되는 이유까지 한눈에 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(a)=a3−2a+1을 f(a)에 대한 식으로 착각하면 안 됩니다. “접선의 기울기”는 함숫값이 아니라 미분계수입니다.
- 곱의 미분에서 (x2−2x)′f(x)만 쓰고 뒤의 (x2−2x)f′(x)를 빠뜨리는 실수가 잦습니다. {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)를 항상 두 항으로 쓰세요.
- x=2를 바로 대입하면 g′(2)=0, 분모도 0이 되어 00 꼴입니다. “분자가 0이니 극한값도 0″이라고 판단하지 말고 반드시 식을 분리하세요.
- 둘째 항 xf′(x)x−1에 x=2를 대입할 때 분자의 x를 빠뜨려 f′(2)로 쓰면 3f′(2)=15라는 오답이 나옵니다. 분자는 2f′(2)입니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 이 문항 풀이 구간부터 바로 재생됩니다.