기초 필수
함수의 극한에 대한 성질
식의 변형
출제의도
이 문항은 함수의 극한에 대한 성질을 올바른 조건에서 사용할 수 있는지를 확인합니다. 극한의 곱의 성질은 각각의 극한이 수렴할 때만 쓸 수 있으므로, 수렴이 보장된 식을 만들어 내는 변형이 핵심입니다.
f(x) 자체의 극한은 알 수 없다는 점이 함정입니다. f(x)를 따로 떼어 내지 말고, 주어진 (x2−1)f(x)를 한 덩어리로 남긴 채 나머지 부분을 조정해야 합니다.
단계별 힌트
주어진 조건은 limx→1(x2−1)f(x)=3입니다. 구하는 식 (x3−1)f(x)에 (x2−1)f(x)라는 덩어리가 보이도록 식을 바꿀 수 있을지 생각해 보세요.
f(x)의 극한이 존재한다는 보장은 없으므로, f(x)만 따로 떼어 극한을 구할 수는 없습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
(x3−1)f(x)=(x2−1)f(x)×x3−1x2−1로 변형할 수 있습니다.
뒤의 분수식은 분자와 분모를 각각 인수분해하면 공통인수 x−1이 약분됩니다. x→1은 x가 1이 아닌 값으로 다가가는 것이므로 약분해도 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
약분한 뒤의 식에 x=1을 대입해 극한값을 구하고, 조건의 극한값 3과 곱하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 92
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A알고 있는 덩어리가 보이도록 식 변형하기
(x3−1)f(x)=(x2−1)f(x)×x3−1x2−1로 나타냅니다.
STEP B분수식을 인수분해하고 약분하기
x3−1=(x−1)(x2+x+1), x2−1=(x−1)(x+1)이므로 분수식은 x2+x+1x+1이 되고, x→1일 때 32에 수렴합니다.
STEP C수렴하는 두 극한을 곱하기
두 극한이 모두 수렴하므로 곱의 성질을 써서 limx→1(x3−1)f(x)=3×32=92입니다.
1등급 다른 풀이 · 조건을 만족하는 함수를 하나 잡아 확인하기
조건 limx→1(x2−1)f(x)=3을 만족하는 가장 간단한 함수로 f(x)=3x2−1을 잡아 봅니다. 그러면 (x3−1)f(x)=3(x3−1)x2−1=3(x2+x+1)x+1이고, x→1일 때 92에 수렴합니다.
이 방법은 구하는 값이 f의 구체적인 모양과 관계없이 하나로 정해지는 문항에서만 쓸 수 있는 검산용 전략입니다. 본풀이로 구한 값을 빠르게 확인하거나, 식 변형이 떠오르지 않을 때 답의 방향을 잡는 데 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- limx→1(x2−1)f(x)=3을 limx→1(x2−1)×limx→1 f(x)=3으로 쪼개면 0×(극한값)=3이라는 모순이 생깁니다. 곱의 성질은 두 극한이 모두 수렴할 때만 쓸 수 있습니다.
- x3−1을 (x−1)(x2−x+1)로 인수분해하는 실수가 자주 나옵니다. 세제곱의 차 공식 a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)를 정확히 떠올리세요.
- 약분 후 x2+x+1x+1에 x=1을 대입하면 분모는 2입니다. 분모를 x−1로 남겨 두어 0이 되는 형태로 계산하지 않도록 약분을 먼저 끝내세요.
- 극한값 32만 구하고 3을 곱하는 것을 빠뜨리면 ①을 고르게 됩니다. 마지막에 두 극한을 곱했는지 확인하세요.