기초 필수
좌극한과 우극한
극한값의 존재 조건
출제의도
이 문항은 극한값이 존재할 조건, 즉 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 그 값이 서로 같아야 한다는 사실을 구간별로 정의된 함수에 적용할 수 있는지를 확인합니다.
x=2에서의 함숫값 f(2)=4가 식에 함께 주어진 것이 함정입니다. 극한값은 x=2 근처의 값으로 결정되며 x=2에서의 함숫값과는 관계가 없다는 점을 정확히 구분해야 정답에 도달합니다.
단계별 힌트
극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다. x=2의 왼쪽에서는 어떤 식을, 오른쪽에서는 어떤 식을 써야 하는지 먼저 구분하세요.
x=2일 때의 식은 극한을 구하는 데 쓰이지 않습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
좌극한 limx→2− f(x)는 x<2일 때의 식 x+1로, 우극한 limx→2+ f(x)는 x>2일 때의 식 ax−1로 계산합니다. 두 식 모두 다항식이므로 x에 2를 대입하면 극한값이 됩니다.
좌극한과 우극한이 모두 b와 같다는 등식을 세우세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
좌극한에는 미지수가 없으므로 b가 먼저 결정됩니다. 그 값을 우극한과 같다고 놓으면 a가 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A극한값이 존재할 조건 세우기
limx→2 f(x)=b이므로 limx→2− f(x)=limx→2+ f(x)=b입니다.
STEP B좌극한과 우극한 각각 계산하기
limx→2− f(x)=limx→2−(x+1)=3이고, limx→2+ f(x)=limx→2+(ax−1)=2a−1입니다.
STEP C등식을 풀어 a, b 구하기
3=2a−1=b에서 a=2, b=3이므로 a+b=2+3=5입니다.
1등급 다른 풀이 · 그래프가 한 점에서 만나는 조건으로 보기
y=x+1의 그래프는 x=2 근처에서 점 (2, 3)을 향합니다. 극한값이 존재하려면 오른쪽 부분인 직선 y=ax−1도 같은 점 (2, 3)을 향해야 하므로, 이 직선이 점 (2, 3)을 지나도록 a를 정하면 됩니다.
2a−1=3에서 a=2이고, 두 선이 만나는 점의 y좌표가 곧 극한값이므로 b=3입니다. 이렇게 “두 조각이 같은 높이로 이어지는가”로 보면 식을 세우기 전에 답의 구조가 보이고, 연속성 문항으로 확장될 때도 같은 그림으로 해결할 수 있습니다. 단, 점 (2, 3)은 극한이 향하는 위치일 뿐 f(2)=4와는 다르다는 점을 함께 기억하세요.
실수를 줄이는 전략
- b를 f(2)=4로 착각하면 2a−1=4에서 a=5/2가 되어 전혀 다른 답이 나옵니다. 극한값과 함숫값은 별개입니다.
- 좌극한에 x>2일 때의 식을, 우극한에 x<2일 때의 식을 넣는 실수를 막으려면 수직선에 x=2를 찍고 왼쪽·오른쪽 식을 먼저 표시하세요.
- 문제에서 묻는 것은 a+b입니다. a=2만 구하고 답을 고르지 않도록 마지막에 묻는 값을 다시 확인하세요.
- 이 문항은 극한값의 존재만 요구합니다. 연속까지 요구하는 문항이라면 f(2)=b 조건이 추가된다는 차이를 구분해 두면 변형 문항에 대비할 수 있습니다.