함정 주의
등차수열과 직선
삼차함수와 직선의 교점
계수 비교
출제의도
이 문항의 핵심은 두 개의 등차수열 조건을 “기울기”로 번역하는 것입니다. x좌표가 공차 2인 등차수열이고 y좌표도 공차 2인 등차수열이라면, 이웃한 두 점 사이의 x 증가량과 y 증가량이 모두 2입니다. 즉 세 점 A, B, C는 기울기가 1인 한 직선 위에 놓입니다.
세 점이 직선 위에 있다는 사실을 알아채면, 문제는 “삼차함수의 그래프와 직선이 세 점에서 만난다”는 익숙한 상황으로 바뀝니다. 이때 f(x)−(직선)=(x−α)(x−β)(x−γ)로 인수분해된다는 점을 이용해 계수를 비교하면 미지수 k와 β가 한꺼번에 정리됩니다. 마지막에 붙은 ‘y절편이 양수’라는 조건이 두 후보 중 하나를 걸러내는 장치라는 점까지 읽어야 완주할 수 있습니다.
단계별 힌트
조건 (가)에서 β−α=γ−β=2이고, 조건 (나)에서 f(β)−f(α)=f(γ)−f(β)=2입니다. 두 조건을 따로 보지 말고 나눗셈으로 붙여 보세요.
직선 AB의 기울기는 f(β)−f(α)β−α 인데, 분자와 분모에 넣을 값이 이미 다 나와 있습니다. 직선 BC의 기울기도 같은 방식으로 계산해 보고, 두 기울기가 같다면 세 점의 위치 관계가 어떻게 되는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
두 기울기가 모두 22=1이므로 세 점은 기울기 1인 한 직선 위에 있습니다. 이 직선을 y=x+a(a는 상수)라 두면, 문제에서 말한 직선 AB의 y절편이 a이고 조건에서 a>0입니다.
이제 α, β, γ는 방정식 f(x)=x+a의 세 실근입니다. f(x)−(x+a)는 최고차항의 계수가 1인 삼차식이므로 f(x)−(x+a)=(x−α)(x−β)(x−γ)가 모든 실수 x에 대하여 성립합니다. 항등식이 나오면 계수 비교를 떠올리세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
α=β−2, γ=β+2로 바꿔 쓰면 우변은 {(x−β)−2}(x−β){(x−β)+2}=(x−β)3−4(x−β)가 되어 전개가 훨씬 간단해집니다.
좌변 x3+kx2−x−a와 우변을 전개한 식의 x2 계수, x 계수, 상수항을 각각 비교하세요. x 계수 비교에서 β2의 값이 나오고, 상수항 비교에서 a를 β로 나타낼 수 있습니다. 그 다음 a>0을 써서 β의 부호를 결정하면 끝입니다.
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정답 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 등차수열 조건을 직선으로 바꾸기
β−α=γ−β=2, f(β)−f(α)=f(γ)−f(β)=2이므로 f(β)−f(α)β−α=f(γ)−f(β)γ−β=22=1입니다. 세 점 A, B, C는 기울기가 1인 한 직선 위에 있으므로 그 직선을 y=x+a(a>0)라 둡니다.
STEP B교점 조건을 항등식으로 쓰기
α, β, γ는 f(x)=x+a의 세 실근이고 f(x)−(x+a)의 최고차항 계수가 1이므로, 모든 실수 x에 대하여 f(x)−(x+a)=(x−α)(x−β)(x−γ)입니다. 즉 x3+kx2−x−a=(x−α)(x−β)(x−γ)입니다.
STEP Cα=β−2, γ=β+2를 대입해 전개하기
우변은 {(x−β)−2}(x−β){(x−β)+2}=(x−β)3−4(x−β)=x3−3βx2+(3β2−4)x−β3+4β입니다. 계수를 비교하면 −3β=k, 3β2−4=−1, β3−4β=a를 얻습니다.
STEP Dy절편 양수 조건으로 β 확정하기
3β2−4=−1에서 β2=1입니다. 이를 상수항 식에 넣으면 a=β3−4β=β−4β=−3β이고, a>0이므로 β<0, 즉 β=−1입니다. 따라서 k=−3β=3입니다.
STEP Ef(γ) 계산하기
f(x)=x3+3x2이고 γ=β+2=1이므로 f(γ)=f(1)=1+3=4입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 한 번에 처리하기
전개하지 않고도 같은 결과를 얻을 수 있습니다. α, β, γ가 x3+kx2−x−a=0의 세 근이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에서 α+β+γ=−k, αβ+βγ+γα=−1, αβγ=a입니다.
여기에 α=β−2, γ=β+2를 넣으면 α+β+γ=3β이므로 k=−3β이고, αβ+βγ+γα=(β−2)β+β(β+2)+(β+2)(β−2)=3β2−4=−1에서 β2=1, αβγ=(β−2)β(β+2)=β3−4β=−3β=a>0에서 β=−1입니다. 전개 과정이 통째로 사라지므로 시험장에서 시간을 크게 아낄 수 있습니다.
한 걸음 더 나아가면, 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 직선과 만나는 세 점의 x좌표가 등차수열을 이루면 가운데 점 B가 변곡점입니다. f″(x)=6x+2k=0에서 β=−k3, 즉 k=−3β가 계산 없이 바로 나옵니다. 이 성질은 수Ⅱ·미적분 단원에서도 반복해서 쓰이니 지금 익혀 두면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)와 (나)를 각각 “x좌표 등차”, “y좌표 등차”로만 읽고 멈추면 풀이가 나아가지 않습니다. 두 조건을 기울기 한 개로 합치는 것이 이 문항의 출발점입니다.
- 세 점이 한 직선 위에 있다는 결론을 얻었다면 직선을 y=x+a처럼 문자 하나로 두세요. 기울기 1을 잊고 y=mx+a로 두면 미지수가 늘어 계산이 복잡해집니다.
- β2=1에서 β=±1 두 개가 나옵니다. 여기서 멈추고 β=1을 택하면 a=−3<0이 되어 y절편이 양수라는 조건에 어긋납니다. 마지막 조건은 장식이 아니라 답을 하나로 정하는 장치입니다.
- 묻는 것은 γ가 아니라 f(γ)입니다. γ=1까지 구하고 1을 답으로 쓰는 실수가 실제로 많이 나옵니다. 구한 k=3을 f(x)에 넣어 f(1)=4까지 계산하세요.
- f(x)−(x+a)를 인수분해할 때 최고차항의 계수가 1이라는 점을 반드시 확인하세요. 계수가 1이 아니면 앞에 상수를 붙여야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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